§ 7. Еще раз о прямых Симеона

Прямая Симсоиа обладает многими интересными свойствами и стоит рассмотреть некоторые из них. Начнем с рассмотрения рисунка 38, который повторяет рисунок 35, за исключением перпендикуляра продолженного до пересечения с описанной окружностью в точке и добавленной прямой

Рис. 38.

Рис. 39.

Поскольку четырехугольники и вписанные, то

Поэтому прямая параллельна прямой Симеона

Сравним теперь прямую Симеона точки с прямой Симеона другой точки (лежащей, конечно, на той же описанной окружности). Угол между этими двумя прямыми Симеона, очевидно, равен углу между параллельными им прямыми и (рис. 39). Две хорды и перпендикулярные

отрезку , параллельны друг другу и отсекают равные дуги и Таким образом,

или, если мы различаем положительные и отрицательные углы, то

Таким образом, нами доказана

Теорема 2.71. Величина угла между прямыми Симеона двух точек лежащих на описанной окружности, равна угловой мере величины дуги

Рис. 40.

Если мы вообразим точку равномерно двигающейся по описанной окружности, то прямая будет равномерно вращаться вокруг точки А со вдвое меньшей угловой скоростью и направленной в обратную сторону; при этом она переменит первоначальное направление на противоположное к тому моменту, когда точка опишет полную окружность. Тем временем, прямая Симеона будет поворачиваться соответствующим образом вокруг непрерывно меняющегося центра вращения. На самом деле, прямая Симеона при движении постоянно касается красивой симметричной кривой, которая называется дельтоидой или «гипоциклоидой Штейнера» [24]. Это движение можно было бы легко проследить, если нарисовать последовательные положения прямой и составить из них мультфильм.

Для продолжения наших исследований давайте рассмотрим сейчас рисунок 40, который является комбинацией рисунков 34 и 38 с добавлением прямой прямой (пересекающей отрезок в точке и прямой (продолженной до пересечения с прямой

в точке V). Так как и отрезок и отрезок перпендикулярны стороне то из уравнения (2.403) следует, что треугольники и являются равнобедренными. Другими словами, отрезок является образом отрезка при симметрии относительно прямой Так как

то прямая параллельна прямой которая, как мы уже показали, параллельна прямой Симеона точки

И, наконец, отметим, что в треугольнике прямая Симеона параллельна стороне и делит пополам отрезок (в точке ). Следовательно, она также обязана делить пополам оставшуюся сторону

Теорема 2.72. Прямая Симеона точки (лежащей на описанной окружности) делит пополам отрезок, соединяющий эту точку с ортоцентром.

Все это было только введением в круг идей, связанных с прямой Симеона. Существует много других свойств, рассмотрение которых мы, к сожалению, вынуждены предоставить другим авторам.

Упражнения

1. Прямые Симеона диаметрально противоположных точек описанной окружности перпендикулярны между собой и пересекаются на окружности девяти точек.

2. Пусть равносторонний треугольник, вписанный в окружность с центром о. и пусть произвольная точка на этой окружности. Тогда прямая Симеона точки делит пополам радиус