Глава 6. ВВЕДЕНИЕ В ПРОЕКТИВНУЮ ГЕОМЕТРИЮ

Во всех преобразованиях, которые мы рассматривали до сих пор, точки переходили в точки. Наиболее характерной чертой «проективной» плоскости является принцип двойственности, который дает нам возможность преобразовывать точки в прямые, а прямые в точки. Одним из таких преобразований, несколько похожим на инверсию, является «полярное преобразование» относительно данной окружности. Каждая точка, за исключением центра О этой окружности, преоб разуется в некоторую прямую; каждая прямая, на проходящая через точку О, преобразуется в некоторую точку, а каждая окружность преобразуется в «коническое сечение», у которого точка О является «фокусом». В этой главе мы обсудим различные виды конических сечений, а в конце проведем тщательное сравнение инверсивной и проективной геометрий.

§ 1. Полярное преобразование

Здесь, как и при инверсии (§ 3 гл. 5), мы используем окружность к» с центром в точке радиусом Каждой точке (отличной от точки О) ставится в соответствие прямая называемая полярой точки перпендикулярная к прямой и проходящая через точку образ точки при инверсии относительно окружности и (рис. 117). И, наоборот, каждой прямой (не проходящей через точку О) ставится в соответствие точка называемая полюсом прямой образ при инверсии относительно окружности к» основания перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую Меняя местами точки на рисунке 102,

мы видим, что в том случае, когда точка лежит вне окружности , ее поляра проходит через точки касания двух касательных, проведенных из точки . В том случае, когда точка лежит на окружности к», очевидно, что ее полярой является касательная к этой окружности в точке Это единственный случай, когда точка и прямая —инцидентны (т.е. точка лежит на прямой и прямая проходит через точку Нам будет удобно использовать согласованные обозначения для точек и прямых так, чтобы поляры точек были прямыми а полюс любой прямой обозначался соответствующей большой буквой.

Рис. 117.

Для любой точки А (за исключением точки О) обозначим через А ее образ при инверсии, а через а — ее поляру (как на рисунке 118). Для произвольной точки В, лежащей на прямой а, построим прямую перпендикулярную прямой Тогда треугольники и подобны и

Следовательно, точка В является образом точки В при инверсии относительно окружности к», и прямую мы сможем обозначить через так как она является полярой точки В. Обратно, любая прямая проходящая через точку А (за исключением прямой порождает перпендикулярную ей прямую что дает нам возможность восстановить тот же рисунок. Итак, доказана

Теорема 6.11. Если точка В лежит на прямой а, то прямая проходит через точку А.

Если мы зафиксируем точку А и прямую а и рассмотрим. поляры для точек В, лежащих на прямой а, то увидим, что все эти прямые проходят через точку А — полюс прямой а. Другими словами, поляры множества коллинеарных точек образуют множество конкурентных прямых. Этот процесс, сохраняющий свойство инцидентности, при котором точки и прямые преобразуются в их поляры и полюсы, называется полярным преобразованием.

Рис. 118.

Все это естественно приводит нас к принципу двойственности, который утверждает, что для любой конфигурации, состоящей из прямых и точек, в которой определенные точки лежат на определенных прямых, существует двойственная ей конфигурация из прямых и точек, в которой определенные прямые проходят через определенные точки. Например, фигура, двойственная полному четырехугольнику (состоящему из четырех точек, никакие три из которых не коллинеарны, и шести соединяющих их прямых: есть полный четырехсторонник (состоящий из четырех прямых, никакие три из которых не конкурентны.

и шести их точек пересечения:

Мы будем рассматривать окружность в двух аспектах: первый — обычный — как множество точек и второй — как совокупность всех касающихся ее прямых, которую мы будем называть оболочкой (рис. 119). Каждая касательная является предельным положением секущей, при сближении точек ее пересечения с окружностью. Соответственно каждая точка касания является предельным положением точки пересечения двух касательных, при сближении этих касательных. Таким образом, полярное преобразование меняет местами точечные множества и их оболочки.

Рис. 119.

Окружность рассматриваемая как множество точек или как оболочка, переходит при полярном преобразовании в ту же самую окружность, рассматриваемую в противоположном аспекте. Аналогично, окружность с центром в точке О радиуса переходит при полярном преобразовании (с таким же изменением аспекта) в концентричную ей окружность радиуса

Теорему, двойственную к данной теореме, как и построение, двойственное к данному построению, можно очень просто получить при помощи замены слов в соответствии со следующим «словарем». (Если нам встречается слово, принадлежащее одной из колонок, то мы должны его заменить на соответствующее слово из другой колонки.)

(см. скан)

В том случае, когда две точки и две прямые расположены так, как указано в теореме 6.11 (т. е. каждая из точек лежит на поляре другой точки), мы называем точки сопряженными точками, а прямые сопряженными прямыми. Таким образом, поляра точки А есть множество точек, сопряженных с точкой А, а полюс прямой а есть оболочка из прямых, сопряженных с прямой а. (Устремляя радиус окружности к нулю, мы можем обосновать представление точки в виде «оболочки» из прямых, проходящих через нее. В частности, любая точка на касательной а сопряжена с точкой касания которая является самосопряженной точкой, а любая прямая, проходящая через точку (лежащую на окружности к»), сопряжена с прямой а, которая является самосопряженной прямой.

Рис. 120.

Полюс любой прямой (не проходящей через точку О) лежит на полярах обеих точек таким образом, может быть описан как точка пересечения Например, если точки лежат на окружности к», как на рисунке 120, полюс секущей есть точка пересечения касательных Соответственно, любая точка, лежащая вне окружности к», принадлежит двум касательным, скажем, а ее поляра может быть построена как секущая, соединяющая точки касания

У любой прямой существуют точки, лежащие вне окружности . Если прямая не является диаметром,

то ее полюс принадлежит полярам всех этих внешних точек и может быть построен как точка пересечения поляр двух из них. Соответственно любая точка лежит на некоторых секущих. Если она не совпадает с точкой О, то ее поляра содержит полюсы всех этих секущих и может быть построена как прямая, соединяющая полюсы двух из них. Мы можем подытожить эти результаты в следующем утверждении:

Теорема 6.12. Полюс любой секущей (за исключением диаметра) является общей точкой касательных в точках Поляра любой внешней точки является прямой, соединяющей точки касания двух касательных, проходящих через эту точку. Полюс любой прямой (за исключением диаметра) является общей точкой поляр двух внешних точек, лежащих на прямой Поляра любой точки (за исключением центра) является прямой, соединяющей полюсы двух секущих, проходящих через точку

Стоит заметить, что если заданы окружность относительно которой производится полярное преобразование, и все ее касательные, то рассмотренные построения используют лишь инцидентность точек и прямых; при этом нет необходимости в каких-либо измерениях. Эта черта характерна для проективной геометрии.

Упражнения

1. Поляра произвольной точки а относительно окружности со с центром о (не совпадающим с точкой а) может быть построена как радикальная ось двух окружностей: окружности со и окружности, построенной на отрезке как на диаметре.

2. Один из углов между полярами точек равен углу

3. Вершины и стороны (рассматриваемые как прямые) правильного -угольника с центром в точке о переходят при полярном преобразовании в стороны и вершины другого правильного -угольиика.

4. Прямоугольник с центром в точке о переходит при полярном преобразовании в ромб.