§ 5. Проективная плоскость

Изучая полярное преобразование, мы установили, что оно переводит почти каждую точку в прямую и почти каждую прямую в точку. Исключение составляют точка О, не имеющая поляры, и прямые, проходящие через точку О, не имеющие полюсов. В случае инверсии мы избавились от исключений, расширив евклидову плоскость до круговой плоскости. В рассматриваемом случае мы избавляемся от исключений с помощью другого ее расширения — расширения до проективной плоскости. Мы вводим бесконечно удаленную прямую которая будет полярой точки О, и ее точки (бесконечно удаленные точки), являюшиеся полюсами прямых, проходящих через точку О. Свойства новой прямой и новых точек определяются тем, что при проективном преобразовании все точки, лежащие на прямой а, переходят во все прямые, проходящие через ее полюс А. Если прямая а проходит через точку О, то поляры точек, лежащих на ней, образуют «пучок» параллельных прямых, состоящий из всех прямых, перпендикулярных к прямой а.

Следовательно, бесконечно удаленная точка, подобно полюсу прямой а, должна рассматриваться как общая точка пучка параллельных прямых. Отсюда следует, что на проективной плоскости отсутствуют исключения для утверждения:

Любые две различные прямые определяют единственную точку

Фактически любая теорема об инцидентности точек и прямых порождает двойственную ей теорему о прямых и точках, а именно, о полярах и полюсах точек и прямых первоначальной теоремы. Например, мы можем считать, что стороны шестиугольника, описанного вокруг окружности и, являются касательными в вершинах шестиугольника, вписанного в ту же самую окружность. Таким образом, теорема Паскаля (§ 8 гл. 3) и теорема Брианшона (§ 9 гл. 3) двойственны, и любая из них может быть выведена из другой при помощи полярного преобразования относительно окружности и. Более того, теорема Паскаля (или Брианшона), примененная к произвольной окружности, порождает теорему Брианшона (или Паскаля) для конического сечения, в которое переходит при полярном преобразовании эта окружность.

Теперь мы можем упростить формулировку теоремы 6.12, опустив исключения, помещенные в круглых скобках. Более того, если мы рассмотрим эту теорему по отношению к произвольной окружности а вместо окружности и, то мы сможем использовать окружность и для перевода окружности а в коническое сечение а. Тогда наши построения для полюсов и поляр по отношению к окружности а перейдут в построения из «поляр» и «полюсов» по отношению к коническому сечению а. Таким же способом мы сможем обобщить полярное преобразование, рассматривая его уже не относительно окружности, а относительно любого конического сечения (см. [6], стр. 363). Теорема 6.12 (в которой опустим заключенные в скобки исключения) состоит из четырех частей, двойственных одна другой; поэтому она остается верной при замене окружности, относительно которой производится полярное преобразование, на коническое сечение.

Если вновь рассмотреть рисунок 65, то нетрудно заметить, что прямая проходит через точку

аналогично, через точку Это замечание позволяет нам преобразовать последнюю часть теоре мы 6.12 так, что она укажет способ прямого построения поляры произвольной точки (рис. 128):

Теорема 6.51. Если точка не лежит на коническом сечении, то ее поляра проходит через точки пересечения прямых и где и любые две секущие, проходящие через точку

Рис. 128,

Мы видели, что любой полюс и любая поляра по отношению к окружности а переходят при полярном преобразовании (относительно другой окружности и) в поляру и полюс относительно конического сечения а. В частности (см. рис. 122—124), центр А окружности а и прямая являются полюсом и полярой по отношению к окружности а; поэтому прямая а и точка О являются полярой и полюсом по отношению к коническому сечению а! и, следовательно, справедлива

Теорема 6.52. По отношению к любому коничв скому сечению, за исключением окружности, директриса является полярой соответствующего фокуса,

Упражнения

1. Запишите теорему 8.61 (Дезарга) в проективной форме, а также запишите ей двойственную.

2. Запишите теорему (Паппа) в проективной форме, а также запишите ей двойственную.

3. Если автополярный треугольник для некоторой окружности имеет прямую одной из своих сторон, то что можно сказать о двух других его сторонах?

4. Коническое сечение является эллипсом, если оно не пересекается с прямой параболой, если касается ее, и гиперболой, если пересекает ее.

5. Асимптоты гиперболы касаются этой гиперболы в точках ее пересечения с прямой

6. Касательные, проведенные из любой точки, лежащей на директрисе параболы, к этой параболе перпендикулярны.

7. Для любого конического сечения, проходящего через четыре вершины полного четырехугольника, точки пересечения трех Пар «противоположных» сторон являются вершинами автополярного треугольника.