§ 9. Теорема Морлея

Одна из самых удивительных теорем элементарной геометрии была открыта в 1904 году Франком Морлеем (отцом Кристофора Морлея, в романе которого «Гроза слева» было применено «закручивание» течения времени, особенно понравившееся геометрам). Он упоминал об этой теореме своим друзьям в Кембридже (Англия) и опубликовал ее двадцать лет спустя в Японии. Тем временем она была переоткрыта и представлена, как задача в журнале «Educational Times». Было прислано два решения, одно из которых, принадлежащее М. Т. Нараньенгару, столь же лаконично, как и масса других, найденных с тех пор. Теорема утверждает:

Теорема 2.91. Точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника.

Рис. 42.

Доказательство Нараньенгара нуждается в следующей лемме (проиллюстрированной на рисунке 42):

Лемма. Если четыре точки удовлетворяют условиям

и

то они лежат на одной окружности. Кроме того, если точка А, расположенная по другую сторону от прямой нежели точка образует угол то эта пятая точка А также лежит на той же окружности.

Докажем эту лемму. Пусть биссектрисы равных углов и пересекаются в точке О. Тогда и три конгруэнтных равнобедренных треугольника с углами при основании, равными 90° — а. Их равные стороны и являются радиусами окружности с центром в точке О, а углы при их общей вершине равны по .

Рис. 43.

Другими словами, каждая из равных хорд и противолежит углу с центром в точке О и, следовательно, противолежит углу а с вершиной на дуге не содержащей точку У. Эта дуга может быть описана как множество точек (по ту сторону от прямой на которой не лежит точка У), из которых отрезок виден под углом За. Одной из таких точек является точка А, поэтому она лежит на этой окружности.

Теперь мы готовы приступить к доказательству самой теоремы 2.91. Как показано на рисунке 43, трисектрисы углов пересекаются в

точках . В треугольнике углы делятся пополам прямыми и следовательно, X — центр окружности, вписанной в треугольник и прямая является биссектрисой угла Если мы построим точки на прямых и так, чтобы прямые и образовали равные углы, по 30° каждый, с прямой XV по разные стороны от нее, то Так как угол при вершине равен 60°, то отсюда следует, что треугольник равносторонний.

Кроме того, треугольник равнобедренный. Его угол при вершине тот же, что и в треугольнике которого остальные углы равны поэтому равные углы треугольника при вершинах равны по каждый.

Обозначая мы выводим из равенства что откуда образом,

Следующий наш шаг состоит в том, что мы нанесем на рисунок отрезки на прямой на прямой С А. Теперь мы имеем

так что

Прежде чем мы сможем применить лемму, мы еще должны оценить величины углов и Однако это довольно просто.

Так как конгруэнтные углы и имеют и конгруэнтные дополнения, то

и

Аналогично, , и конечно,

Применяя лемму, мы получаем, что пять точек все лежат на одной окружности. Так как равные хорды стягивают равные углы а в точке А, то прямые делят угол А в треугольнике на три равные части. Другими словами, точки которые были искусственно построены так, чтобы образовался равносторонний треугольник, на самом деле оказались точками, описанными в теореме Морлея. Доказательство теперь закончено.

Упражнения

(см. скан)