§ 1. Параллельный перенос

Помимо тождественного преобразования, при котором каждая точка переходит в ту же самую точку, наиболее известным является параллельный перенос, сохраняющий расстояния между любыми двумя точками и направление прямой, проходящей через них.

Рис. 70.

Рис. 71.

Если отрезок является образом отрезка при параллельном переносе, то либо точки лежат на прямой, как на рисунке 70, либо параллелограмм, как на рисунке 71. (В первом случае мы, естественно, говорим о вырожденном параллелограмме Таким образом, параллельный перенос определяется заданием направленного отрезка и с тем же успехом он может быть определен при помощи любого отрезка из бесконечного множества других, имеющих ту же длину и направление, например, Другим названием параллельного переноса служит слойо вектор, и мы будем пользоваться обозначением . В частности, тождественное преобразование может рассматриваться как параллельный перенос на нулевое расстояние или как нуль-вектор.

Тот факт, что параллельный перенос сохраняет форму и размеры любой фигуры, используется в доказательствах различных теорем о площадях. Например (рис. 72), при выводе обычной формулы площади параллелограмма с острым углом при вершине А мы отрезаем прямоугольный треугольник и приклеиваем его вновь, перенеся параллельно в положение в результате чего получается прямоугольник

Рис. 72.

Рис. 73.

Рисунок 73 иллюстрирует задачу о вписывании в данную окружность прямоугольника, обладающего тем свойством, что две его противоположные стороны параллельны данному отрезку а и имеют с ним одинаковую длину. Эта задача может быть решена при помощи параллельного переноса данной окружности на любой из двух векторов, соответствующих отрезку . Если старое и новое положения окружности имеют общие точки то они будут двумя вершинами искомого прямоугольника стороны которого и параллельны отрезку а и имеют с ним одинаковую длину.

Упражнения

(см. скан)