§ 4. Симметрия

Третьим типом преобразований, сохраняющих расстояния, является симметрия относительно прямой называемой осью симметрии. Каждая точка, принадлежащая оси (например, или К), остается на месте, т. е. является симметричной самой себе. Образ точки А, не принадлежащий оси, есть точка А, которая лежит на перпендикуляре, проходящем через точку А, причем ось делит пополам отрезок На рисунке 80 отрезок является образом отрезка Довольно просто показать, что если точка С лежит на прямой то ее образ С принадлежит прямой

В трапеции диагонали и являются образами друг друга; их общая точка X, являясь симметричной самой себе, лежит на оси Из свойств вертикальных углов следует, что а из конгруэнтности треугольников и вытекает, что Следовательно,

Отсюда можно сделать вывод, что кратчайшим путем от произвольно заданной точки А до оси и далее к данной точке В, лежащей по ту же сторону от оси, является ломаная

Рис. 80.

Рис. 81.

Действительно, как видно из рисунка 81, если взять любую другую точку на оси, то длина ломаной будет равна и будет больше, чем длина отрезка

Это, в частности, дает нам способ геометрического решения известной экстремальной задачи, не прибегая к помощи вычислений. Физики утверждают, что луч света, движущийся из точки к зеркалу, и далее к другой точке В, выбирает такой путь, при котором время движения было бы наименьшим. В однородной среде это время пропорционально пройденному пути. Поэтому луч света, который идет из точки в точку В, отражаясь в зеркале и падая на зеркало под углом а, отражается от него под тем же углом. Итак,

это является следствием требования, что путь должен иметь наименьшую длину.

Рис. 82.

Физики обычно измеряют углы, отсчитывая их от нормали — перпендикуляра к зеркалу, вместо того чтобы отсчитывать их от самого зеркала. Угол изображенный на рисунке 82, называется углом падения, а угол углом отражения.

Упражнения

1. Дан разносторонний треугольник со сторонами, способными отражать свет. Определите, где на стороне нужно установить источник света, чтобы выпущенный из него луч, последовательно отразившись в двух других сторонах, вернулся в ту же точку?

Указание. См. § 6 гл. 1.

2. Среди всех треугольников с заданными основанием и площадью равнобедренный имеет наименьший периметр.

3. Проделайте упражнение 1 § 3, используя симмефию.