Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 6. Центральные конические сеченияЕстественно возникает вопрос, являются ли эллипс И гипербола в действительности более симметричными, чем это непосредственно следует из наших построений этих фигур, т.е. одинаковы ли оба «конца» эллипса и одинаковы ли две отдельные «ветви» гиперболы. Из последующего обсуждения мы увидим, что предполагаемая нами дополнительная симметрия действительно имеет место. Возвращаясь к обозначениям, использованным в теореме 6.51, мы можем утверждать, что если точка С не лежит на коническом сечении, то ее поляра проходит через точки пересечения прямых проходящими через точку С. В соответствии с этим, точка С называется центром конического сечения, а эллипс и гипербола называются центральными коническими сечениями. Таким образом, доказана Теорема 6.61. Центральное коническое сечение центрально-симметрично относительно его центра. При этой центральной симметрии относительно точки С фокус О и директриса а (см. § 4) переходят во второй фокус
Рис. 129. Отбрасывая тривиальный случай, когда точки Рассмотрим теперь центр конического сечения — точку С и ее поляру с относительно окружности на рисунках 132 и 133. Так как точка С и прямая
Рис. 130.
Рис. 131. Другими словами, если С — точка, в которой прямая с пересекает прямую
и
то (используя обозначения направленных расстояний) мы имеем
которое отрицательно или положительно в соответствии с тем
Рис. 132.
Рис. 133. Следовательно, для эллипса центр С и директриса а находятся по разные стороны от точки О, как на рисунке 130, а для гиперболы они лежат по одну и ту же сторону, как на рисунке 131. Другими словами, фокусы эллипса лежат внутри него, а сам он лежит между своими директрисами. Обе директрисы гиперболы лежат в «пустом» пространстве между ее двумя ветвями. Из механики мы знаем, что если не принимать во внимание сопротивления воздуха, то траекторией брошенного мяча будет дуга параболы, фокус которой можно найти без особых затруднений. Так как брошенный мяч на несколько секунд становится маленьким искусственным спутником, то эта наблюдаемая парабола на самом деле является сильно вытянутым эллипсом, эксцентриситет которого лишь немного меньше единицы. Где же второй ее фокус? В центре Земли! Упражнения1. Для любой точки 2. Для любой точки 3. Основания перпендикуляров, опущенных из фокуса центрального конического сечения на касательные к нему лежат на одной окружности (она называется вспомогательной окружностью конического сечения; [24], стр. 13, 25, 155 и [33], стр.577).
|
1 |
Оглавление
|