§ 6. Центральные конические сечения

Естественно возникает вопрос, являются ли эллипс И гипербола в действительности более симметричными, чем это непосредственно следует из наших построений этих фигур, т.е. одинаковы ли оба «конца» эллипса и одинаковы ли две отдельные «ветви» гиперболы. Из последующего обсуждения мы увидим, что предполагаемая нами дополнительная симметрия действительно имеет место.

Возвращаясь к обозначениям, использованным в теореме 6.51, мы можем утверждать, что если точка С не лежит на коническом сечении, то ее поляра проходит через точки пересечения прямых где любые две секущие, проходящие через точку С. Если поляра точки С есть бесконечно удаленная прямая (как на рисунке 129), то это означает, что вписанный четырехугольник есть параллелограмм. Так как точка С не лежит на коническом сечении, то ее поляра не является касательной к нему. Следовательно, коническое сечение не может быть параболой. Так как диагонали параллелограмма при пересечении делятся пополам, то эта точка С (являющаяся полюсом прямой есть середина каждого из отрезков а эти отрезки могут быть любыми двумя хордами,

проходящими через точку С. В соответствии с этим, точка С называется центром конического сечения, а эллипс и гипербола называются центральными коническими сечениями. Таким образом, доказана

Теорема 6.61. Центральное коническое сечение центрально-симметрично относительно его центра.

При этой центральной симметрии относительно точки С фокус О и директриса а (см. § 4) переходят во второй фокус и вторую директрису как на рисунках 130 и 131. Если мы применим это же преобразование к окружностям рассмотренным в § 3 гл. 6, то мы получим новые окружности такие, что то же самое коническое сечение а будет образом окружности «1 при полярном преобразовании относительно окружности

Рис. 129.

Отбрасывая тривиальный случай, когда точки совпадают, мы видим, что каждое коническое сечение симметрично относительно прямой . В случае центрального конического сечения отсюда следует, что точка С лежит на этой прямой. Мы можем получить центральную симметрию относительно точки С в виде суммы симметрий относительно двух перпендикулярных прямых, проходящих через точку в качестве одной из них можно взять прямую Следовательно, центральное коническое сечение также симметрично относительно прямой, проходящей через точку С перпендикулярно прямой Другими словами, центральное коническое сечение обладает симметрией, аналогичной симметрии ромба или прямоугольника.

Рассмотрим теперь центр конического сечения — точку С и ее поляру с относительно окружности , как

на рисунках 132 и 133. Так как точка С и прямая полюс и поляра относительно конического сечения а, то прямая с и точка О должны быть полярой и полюсом относительно окружности а. Таким образом, точка С есть -полюс прямой с, которая в свою очередь есть -поляра точки О.

Рис. 130.

Рис. 131.

Другими словами, если С — точка, в которой прямая с пересекает прямую то точка С есть образ при инверсии относительно окружности и точки С, которая является образом точки О при инверсии относительно окружности а. Так как

и

то (используя обозначения направленных расстояний)

мы имеем

которое отрицательно или положительно в соответствии с тем или .

Рис. 132.

Рис. 133.

Следовательно, для эллипса центр С и директриса а находятся по разные стороны от точки О, как на рисунке 130, а для гиперболы они лежат по одну и ту же сторону, как на рисунке 131. Другими словами, фокусы эллипса лежат внутри него, а сам он лежит между своими директрисами. Обе директрисы гиперболы лежат в «пустом» пространстве между ее двумя ветвями.

Из механики мы знаем, что если не принимать во внимание сопротивления воздуха, то траекторией брошенного мяча будет дуга параболы, фокус которой можно найти без особых затруднений.

Так как брошенный мяч на несколько секунд становится маленьким искусственным спутником, то эта наблюдаемая парабола на самом деле является сильно вытянутым эллипсом, эксцентриситет которого лишь немного меньше единицы. Где же второй ее фокус? В центре Земли!

Упражнения

1. Для любой точки лежащей на эллипсе, сумма ее фокальных расстояний постоянна (см. рис. 130).

2. Для любой точки лежащей на гиперболе, разность ее фокальных расстояний постоянна (см. рис. 131).

3. Основания перпендикуляров, опущенных из фокуса центрального конического сечения на касательные к нему лежат на одной окружности (она называется вспомогательной окружностью конического сечения; [24], стр. 13, 25, 155 и [33], стр.577).