Глава 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

В замечании, приведенном в конце § 6 гл. 1, мы (установили перпендикулярность прямых и (см. рис. 14) как следствие того, что они могут быть получены из перпендикулярных прямых и поворотом на равные углы а вокруг точек соответственно. В преамбуле к теореме 1.71 мы видели, что у подобных треугольников и центроиды совпадают и что, так как их ортоцентрами являются точки то Наконец, в обсуждении, последовавшем за теоремой 1.81, мы использовали разворот, чтобы поменять местами ортоцентры двух конгруэнтных треугольников и Поворот, дилатация и разворот являются тремя примерами преобразования, которое мы будем понимать, имея в виду рассматриваемый здесь круг вопросов, как отображение всей плоскости на себя такое, что каждая точка отображается в единственную точку а каждой точке соответствует единственный прообраз Идея «отображения» имеет первостепенное значение во многих областях математики, например, когда мы описываем функцию то мы отображаем множество значений переменной на множество соответствующих значений переменной у.

Евклидова геометрия является только одной из многих геометрий, каждая из которых имеет свои собственные исходные понятия, аксиомы и теоремы. Феликс Клейн в речи, прочитанной им в 1872 году при вступлении на кафедру в немецком городе Эрлангене, предложил классификацию геометрий в соответствии с теми группами преобразований, использование которых не меняет понятий, аксиом и теорем,

Обычная евклидова геометрия характеризуется группой подобий, которые могут быть описаны как преобразования, сохраняющие углы. Важным частным случаем подобия является изометрия, которая может рассматриваться как преобразование, сохраняющее длины, например, поворот и, в частности, разворот. Изометрия лежит в основе известного нам понятия конгруэнтности-, две фигуры конгруэнтны в том и только в том случае, если можно преобразовать одну в другую с помощью изометрии.