§ 5. Теорема Паппа

Теперь мы подходим к одной из важнейших теорем планиметрии. Она впервые была доказана Паппом Александрийским около 300 года нашей эры. Но лишь шестнадцать столетий спустя была признана ее роль в создании проективной геометрии. И тогда Папп был назван последним великим геометром древности. Эта выдающаяся теорема, носящая его имя, может быть сформулирована различными срособами, один из которых дается ниже.

Теорема 3.51. Если три точки на одной прямой, а на другой, и если три прямые пересекают прямые соответственно, то три их точки пересечения коллинеарны.

«Проективная» природа этой теоремы видна из того, что она использует только принадлежность точек прямым или прохождение прямых через точки, без измерения длин или углов и даже без какой-либо ссылки на порядок", в каждом множестве из трех

коллинеарных точек безразлично, какая из них лежит между двумя другими. Рисунок 58 реализует одну из возможностей нарисовать чертеж, а рисунок 59 — другую такую возможность. Мы можем циклически переставить буквы при условии, что соответственно переименуем точки Чтобы избежать рассмотрения бесконечно удаленных точек, которое завело бы нас "слишком далеко в направлении проективной геометрии, давайте предположим, что три прямые образуют треугольник как на рисунке 60. Применяя теорему Менелая к пяти тройкам точек

лежащих на сторонах этого треугольника, мы получаем:

Рис. 58.

Рис. 59.

Рис. 60.

Разделив произведение первых трех соотношений на произведение последних двух и с наслаждением произведя массу сокращений, мы получаем

т. е. точки коллинеарны, что и требовалось ([11], стр. 237 и [1], стр. 12).

Упражнения

1. Если три точки на одной прямой, на другой, и если две прямые и параллельны прямым и соответственно, то прямая параллельна прямой

2. Пусть шесть точек, обладающих тем свойством, что прямые конкурентны и прямые конкурентны. Что можно сказать о прямых

3. Пусть произвольные точки соответственно, на сторонах и параллелограмма Обозначим через точки пересечения прямой с прямой и прямой с прямой Пусть прямая пересекает прямую в точке а прямую в точке Тогда

4. Сколько точек и прямых, обозначенных буквами, находится на рисунке 58 (или рисунке Сколько таких прямых проходит через каждую из этих точек? Сколько таких точек лежит на каждой из этих прямых?