§ 4. Круговая плоскость

В предыдущем параграфе мы видели, что любая окружность, проходящая через точку О (с выколотой точкой О) переходит при инверсии в прямую и что любая окружность с центром О переходит при инверсии в окружность. Естественно задать вопрос: что случится с иначе расположенной окружностью. Сначала рассмотрим, как изменяется расстояние между двумя точками при инверсии.

Теорема 5.41. Если при инверсии относительно окружности с центром в точке О и радиусом пара точек переходит в пару точек то расстояния между ними удовлетворяют равенству:

Действительно, так как треугольники и подобны (рис. 106), то

Отсюда легко следует сохранение величины сложного отношения.

Рис. 106.

Теорема 5.42. Если точки А, В, С, D переходят при инверсии в точки то

Действительно,

В свою очередь, отсюда следует сохранение разбиения:

Теорема 5.43. Если при инверсии точки А, В, С, D переходят в точки то

На самом деле, используя теоремы 5.21 и 5.42, мы получаем, что отношение означает, что

откуда

В конце § 2 мы установили, что любая окружность полностью определяется тремя своими точками как множество, состоящее из этих точек и всех точек X, удовлетворяющих либо либо либо Следовательно, образ данной окружности при инверсии состоит из точек и всех точек X, удовлетворяющих либо либо либо т. е. ее образом является окружцость (или прямая) Как мы установили в § 3, окружность переходит при инверсии в прямую тогда и только тогда, когда она проходит через точку О. Тем самым доказана

Теорема 5.44. Образом при инверсии любой окружности, не проходящей через точку О, является окружность, не проходящая через точку О.

Описание окружности (или прямой) через разбиения наводит на мысль, что может оказатьсй полезным следующее изменение нашей терминологии: пусть понятие окружность включает как частный случай и прямые, т. е. мы будем рассматривать прямую как окружность бесконечного радиуса. Одновременно договоримся присоединить к евклидовой плоскости единственную бесконечно удаленную точку и считать ее образом центра для любой окружности инверсии. Так пополненная плоскость называется круговой плоскостью. Так как при инверсии с центром в точке О любая окружность, проходящая через точку О, переходит в прямую, то мы будем рассматривать прямую как окружность, проходящую через точку Далее, поскольку две окружности, касающиеся друг друга в точке О, переходят при инверсии в параллельные прямые, то мы будем рассматривать параллельные прямые как окружности, касающиеся в точке . При

этом соглашении из теоремы 5.44 в сочетании с результатами § 3 получается для круговой плоскости

Теорема 5.45. При инверсии образом любой окружности является окружность.

Присоединение точки к евклидовой плоскости позволяет нам объявить инверсию взаимно однозначным преобразованием всей круговой плоскости: каждая точка (без исключения) имеет образ, и каждая точка является образом некоторой точки.

Любые две окружности могут быть отнесены к одному из трех типов: пересекающиеся, касающиеся и непересекающиеся, которые характеризуются количеством общих точек (2, 1 и 0). Поэтому пара окружностей при инверсии переходит в пару окружностей, принадлежащих к тому же типу (при этом к «касающимся окружностям» причисляются как окружность с касательной к ней прямой, так и две параллельные прямые).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)