§ 4. Вписанная и вневписанные окружности

На рисунке 11 изображена вписанная окружность, касающаяся сторон и в точках Так как две касательные к окружности, проведенные из внешней точки, равны, то мы получаем, что

Рис. 11.

На рисунке 11 длины этих отрезков обозначены буквами так что

Складывая эти равенства и используя введенное Эйлером обозначение для полупериметра (от «semi-perimeter»), получим

поэтому

т. е. справедлива

Теорема с. Так как треугольник имеет основание а и высоту то его площадь равна Прибавив к нему аналогичные выражения для и мы получим следовательно, доказана

Теорема 1.42.

На рисунке 12 изображен треугольник стороны которого являются биссектрисами внешних углов треугольника Любая точка на биссектрисе угла В равноудалена от прямых и Аналогично, любая точка на прямой равноудалена от

прямых и Следовательно, точка в которой эти биссектрисы пересекаются, находится на одинаковом расстоянии от всех трех сторон. Так как равноудалена от сторон и то она должна принадлежать множеству точек, равноудаленных от этих прямых, т. е. она должна лежать на прямой внутренней биссектрисе угла А:

Теорема 1.43. Внешние биссектрисы любых двух углов треугольника конкурентны с внутренней биссектрисой третьего угла.

Рис. 12.

Окружность с центром в точке радиуса касающаяся всех трех сторон треугольника, является одной из трех вневписанных окружностей. Каждая из вневписанных окружностей касается одной из сторон треугольника внутри, а двух других сторон (продолженных) извне.

Обозначив точки касания как на рисунке 12, мы замечаем, что так как две касательные из одной точки к окружности имеют одинаковые длины, то

и

Следовательно, касательная из точки В (или любой другой вершины) к вневписанной окружности, расположенной за противолежащей стороной, имеет длину Действительно,

Кроме того, так как а и т.д., то также и

Упражнения

1. Если три окружности с центрами в точках попарно касаются, то их радиусы равны .

2. имеют их обычные значения).

3. Чевианы треугольника где точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника, конкурентны. (Их общая точка называется точкой Жергона треугольника

4. Треугольник является ортотреугольником треугольника (рис. 12).