§ 2. Теорема Чевы

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется пееианой. Таким образом, если в треугольнике точки, лежащие на сторонах соответственно, то отрезки являются чевианамн. Этот термин происходит от имени итальянского математика Джованни Чевы, который в 1678 году опубликовал следующую очень полезную теорему:

Теорема 1.21. Если три чееианы (по одной из каждой вершины) треугольника конкурентны, то

Когда мы говорим, что три прямые (или отрезка) конкурентны, то мы имеем в виду, что все они проходят через одну точку, которую обозначим через Для доказательства теоремы Чевы вспомним, что

площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников. Ссылаясь на рисунок 3, мы имеем:

Аналогично,

Теперь, если мы перемножим их, то получим

Рис. 3.

Теорема, обратная к этой теореме, также верна:

Теорема 1.22. Если три чевианы удовлетворяют соотношению

то они конкурентны.

Чтобы это показать, предположим, что две первые чевианы пересекаются в точке как и прежде, а третья чевиана, проходящая через точку будет Тогда, по теореме 1.21,

Но по предположению

Следовательно,

точка совпадает с точкой и мы доказали, что отрезки и конкурентны ([13], стр. 54 и [42], стр. 48, 317),

Упражнения

1. Если середины сторон, то соответствующие им три чевианы конкурентны.

2. Чевианы, перпендикулярные противоположным сторонам, конкурентны.

3. Пусть и два неконгруэнтных треугольника, соответствующие стороны которых параллельны, как на рисунке 4. Тогда три прямые конкурентны. (Такие треугольники называются гомотетичными. Мы рассмотрим их далее, в § 7 гл. 4.)

Рис. 4.

Рис. 5.

4. Пусть чевпана длины причем как на рисунке 5. Тогда

Указание. Сложите выражения для косинусов двух дополнительных углов в точке через стороны треугольников и соответственно. Этот результат называется теоремой Стюарта в честь Стюарта, который сформулировал ее в 1746 году. Возможно, что она была открыта Архимедом около 300 г. нашей эры, но первое известное доказательство было дано Р. Симсоном в 1751 году.