§ 6. Теорема Птолемея
Понятие прямой Симеона может быть использовано для вывода очень полезной теоремы. Рассмотрим вновь рисунок 35. Хотя «педальный треугольник» 
вырожден, длины его «сторон» все еще могут быть вычислены с помощью теоремы 1.91:
Так как 
мы выводим, что
т. е.
Так как 
вписанный четырехугольник, то таким образом мы доказали теорему Птолемея:
Теорема 2.61. Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма произведений длин двух пар его противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.
Рис. 37.
Теорема Птолемея имеет обратную, которая может быть усилена, если принять во внимание, что в случае, когда точка 
не лежит на отрезке 
равенство 
должно быть заменено «неравенством треугольника»
что
Следовательно, справедлива
Теорема 2.62. Если точка 
не лежит на дуге 
окружности, описанной вокруг треугольника 
то
Упражнения
(см. скан)
