§ 8. Теорема о бабочке

Теорема о бабочке была популярна довольно долго. Мы ее формулируем следующим образом (рис. 41):

Теорема 2.81. Пусть через точку являющуюся серединой хорды некоторой окружности, проведены две произвольные хорды и Хорды и пересекают отрезок в точках Тогда точка является серединой отрезка

Было найдено много доказательств этой теоремы различной длины и трудности. Три доказательства

были получены от доктора Золля из Ньюаркского колледжа. Он сообщил при этом, что одно из них было предложено в 1815 году В. Г. Горнером, открывшим метод приближенного вычисления корней многочленов. (Согласно Е. Т. Беллу, метод Горнера был предвосхищен китайскими математиками.) Другое доказательство см. Р. Джонсон [11], стр. 78 и [42], стр. 33, 259. Самое короткое доказательство использует проективную геометрию ([19], стр. 78, 144). Доказательство, представленное здесь, хотя и не очень коротко, но довольно простое и легкое для запоминания. I

Рис. 41.

Сначала опустим перпендикуляры из точек на прямую затем перпендикуляры из точек на прямую Обозначая для удобства мы замечаем, что из рассмотрения пар подобных треугольников вытекает, что

откуда

и что мы и хотели доказать.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)