Глава 1. ТОЧКИ И ЛИНИИ, СВЯЗАННЫЕ С ТРЕУГОЛЬНИКОМ

Цель этой главы состоит в том, чтобы вспомнить некоторые из тех полузабытых вещей, к которым отсылал доктор Белл, вывести новые теоремы, появившиеся после Евклида, и применить все это к интересным ситуациям. Мы рассматриваем произвольный треугольник и самые знаменитые связанные с ним точки и линии: центр описанной окружности, медианы, центроид, биссектрисы углов, центр вписанной окружности, центры вневписанных. окружностей, высоты, ортоцентр, прямую Эйлера и окружность девяти точек.

Изучение биссектрис углов естественно подводит нас к теореме Штейнера — Лемуса, которая сотни лет считалась трудной для доказательства, хотя, как мы видим сейчас, ее довольно легко доказать.

Наконец, по треугольнику и точке находящейся в общем положении, мы получаем новый треугольник, вершины которого являются основаниями перпендикуляров из точки к сторонам данного треугольника. Эта идея приводит к заннмательным результатам, с некоторыми из них мы встретимся в следующей главе.

§ 1. Обобщенная теорема синусов

Теорема синусов — это тригонометрическая теорема, которой мы будем часто пользоваться. К сожалению, она обычно появляется в учебниках в урезанной форме, и в этом виде она не приносит всей той пользы, которую могла бы дать обобщенная теорема, Поэтому

мы позволим себе доказать теорему синусов в желательной для нас форме.

Мы начинаем с треугольника (обозначенного обычным способом) и описываем вокруг него окружность с центром в точке О и радиусом как показано на рисунках 1 и 2. Проведем диаметр и хорду . В обоих случаях прямой, так как он вписан в полукруг. Следовательно, на обоих рисунках

На рисунке поскольку углы опираются на одну и ту же дугу окружности.

Рис. 1.

Рис. 2.

На рисунке потому что противоположные углы вписанного четырехугольника являются дополнительными. Вспоминая, что (180° — 9), получим, что обоих случаях следовательно, т. е.

Та же самая процедура, примененная к другим углам треугольника дает

Объединяя результаты, мы можем сформулировать обобщенную теорему синусов следующим образом:

Теорема 1.11. Для треугольника с радиусом описанного круга выполнены соотношения:

Упражнения

1. Покажите, что для любого треугольника даже если угол В или С тупой, Используйте теорему синусов для вывода «формулы сложения»

2. В любом треугольнике

3. В любом треугольнике

4. Пусть радиусы двух окружностей, проходящих через точку А и касающихся стороны в точках В к с соответственно. Тогда