§ 7. Стереографическая и гномоническая проекции

Как мы видели в § 3 гл. 5, единственной точкой евклидовой плоскости, не имеющей образа при инверсии, является центр О. окружности инверсии Для того чтобы устранить это исключение и превратить инверсию во взаимно однозначное преобразование всей плоскости, мы расширили евклидову плоскость, добавив единственную идеальную точку, называемую бесконечно удаленной точкой, которая становится образом точки О. Эта расширенная плоскость называется круговой плоскостью.

Как мы видели в § 1 настоящей главы, единственной точкой евклидовой плоскости, не имеющей поляры, является центр О окружности относительно которой производится полярное преобразование. Для того чтобы устранить это исключение и превратить полярное преобразование в преобразование всей плоскости, переводящее каждую точку в прямую, а каждую прямую в точку, мы расширили евклидову плоскость, добавив единственную идеальную прямую, называемую бесконечно удаленной прямой, которая становится полярой точки О. Эта расширенная плоскость называется проективной плоскостью.

Таким образом, существуют два различных, но в равной степени эффективных способа расширения евклидовой плоскости. К сожалению, они известны гораздо меньше, чем того заслуживают.

Эти два расширения получат новое истолкование, если мы перейдем от плоскости к пространству и проведем сравнение двух самых простых из возможных способов отображения сферы на плоскость.

Наше первое определение инверсии относительно окружности (§ 3 гл. 5) легко обобщается на случай пространства. Зададим сферу со радиуса с центром в точке О и точку отличную от точки О. Образом точки при этой инверсии назовем точку лежащую на луче расстояние которой до точки О удовлетворяет соотношению

Поместив плоскость рисунка 103 в трехмерное пространство и произведя вращение вокруг линии центров мы сразу же увидим, что сферы (включая и плоскости, рассматриваемые как сферы бесконечного радиуса) переходят при инверсии в сферы. В частности (рассмотрите среднюю часть рисунка 103), если а — касательная плоскость в точке А к сфере инверсии то образом плоскости а будет сфера а, построенная на отрезке как на диаметре. Точки на плоскости а и сфере а, переходящие друг в друга при этой инверсии, могут быть получены и без помощи сферы Взяв точку на плоскости а (см. рис. 134), мы сможем построить соответствующую ей точку как вторую точку пересечения сферы а с прямой Обратно, задав на сфере а произвольную точку отличную от точки О, мы сможем построить соответствующую ей точку как точку пересечения прямой с плоскостью а. Наше естественное желание избегать исключений вынуждает нас заменить плоскость а на круговую плоскость, добавляя единственную бесконечно удаленную точку. Эта точка будет положением точки в том случае, когда точка совпадает с точкой О ([17], стр. 145).

Рис. 134.

Такое отображение сферы а на плоскость а называется стереографической проекцией. Тот факт, что этот вид проекции возникает в результате инверсии пространства, позволяет нам легко увидеть, что окружности проектируются в окружности. Действительно, так как при инверсии сферы переходят в сферы (или плоскости), а любая окружность может рассматриваться как линия пересечения двух сфер, то отсюда следует, что окружности (расположенные где-либо в пространстве, в частности, на сфере а) переходят при инверсии в окружности.

Другим способом отображения сферы а на касающуюся ее плоскость а является гномоническая проекция (или «центральная проекция»). Теперь вместо проектирования из точки О (диаметрально противоположной точке ), мы проектируем из центра сферы а (который является серединой отрезка Так любая плоскость, проходящая через эту точку, пересекает сферу по большому кругу, а плоскость а по прямой, то каждая прямая на плоскости а порождается большим кругом на сфере а, а каждая точка на плоскости а — парой диаметрально противоположных точек сферы на рисунке 135).

Рис. 135.

Обратно, любой большой круг, за исключением большого круга, плоскость которого параллельна плоскости а, позволяет нам построить соответствующую ему прямую на плоскости а как линию пересечения плоскости а с плоскостью этого большого круга. Наше естественное желание избегать исключений вынуждает нас заменить плоскость а на проективную плоскость, добавляя единственную бесконечно удаленную прямую, соответствующую исключенному большому кругу. Точки этой идеальной прямой («бесконечно удаленные точки»)

соответствуют парам диаметрально противоположных точек этого большого круга. Проективное утверждение о том, что любые две прямые имеют общую точку, соответствует тому очевидному факту, что любые два больших круга имеют общую пару диаметрально противоположных точек (т. е. что любые две плоскости, проходящие через центр сферы, пересекаются по прямой линии; [38], стр. 56).

Так как все точки проективной плоскости (включая и бесконечно удаленные точки) возникают при гномонической проекции из пар диаметрально противоположных точек на сфере, то полезно рассматривать проективную плоскость как полученную из сферы при помощи абстрактного отождествления каждой пары диаметрально противоположных точек, т. е. изменения значения слова «точка» так, чтобы называть такую пару одной точкой ([17], стр. 419).

Для практического картографирования ни стереографическая, ни гномоническая проекции не являются идеальными, хотя каждая из них имеет свои достоинства. Преимущество первой состоит в том, что углы между двумя направлениями в точке сохраняются и, следовательно, формы маленьких островов изображаются без изменений. Одно из преимуществ другой — то, что кратчайшие пути между двумя точками на сфере изображаются прямолинейными отрезками.

В теореме 5.41 мы установили, что сложное отношение сохраняется при инверсии. Будет ли оно сохраняться при полярном преобразовании? Нет, оно будет сохраняться только лишь для коллинеарных точек (см. [19], стр. 118—119). Точное утверждение состоит в том, что сложное отношение четырех точек, лежащих на прямой равно сложному отношению четырех точек, в которых поляры этих точек пересекают произвольную прямую, не проходящую через точку полюс прямой Это целый рассказ, слишком длинный, чтобы быть изложенным здесь.

Любой, кто понял изложенные здесь идеи, будет готов воспринять аксиоматическую трактовку проективной геометрии, как в [19]. Там он вновь встретится с теоремами Дезарга, Паппа и Паскаля, взглянув на них с совершенно другой точки зрения, но будет иметь то преимущество, что узнает в них старых друзей.

Упражнения

(см. скан)

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ

(см. скан)

(см. скан)