§ 3. Инверсия

В 1831 году Магнус предложил следующее «квазипреобразование». Пусть даны окружность со с центром в точке О и радиусом как на рисунке 102, и точка отличная от точки О. Образом точки при инверсии относительно окружности со назовем точку

Р, лежащую на луче расстояние которой до точки О удовлетворяет соотношению

Из этого определения следует, что образом точки является точка а следовательно, инверсия (так же как и известные нам разворот и симметрия) обладает тем свойством, что двукратное ее применение приводит к тождественному преобразованию. Кроме того, каждая точка, лежащая вне окружности инверсии имеет своим образом точку, лежащую внутри ее: инверсия «выворачивает внутренность окружности со наружу». Единственными точками, которые переходят в себя при этом преобразовании, являются точки, лежащие на окружности

Рис. 102.

Рассмотрим, во что переходят при инверсии некоторые кривые. Окружность с центром в точке О и радиусом очевидно, переходит в концентричную ей окружность радиуса Любая прямая, проходящая через точку О, переходит в себя при условии, что мы не рассматриваем саму точку О (попытку избежать этой оговорки, принимая в качестве образа точки О саму точку О, следует признать неудачной, поскольку при этом нарушается непрерывность преобразования: при приближении точки к точке О точка удаляется от нее).

Пусть точка лежит внутри окружности со (не совпадая с точкой О). Рассмотрим хорду проходящую через точку перпендикулярно к отрезку и точку в которой пересекаются касательные, проведенные к окружности в точках Так как треугольники и подобны, то точка построенная таким образом, удовлетворяет соотношениям:

следовательно, является образом точки

И, наоборот, чтобы построить образ произвольной точки лежащей вне окружности нужно

построить окружность на отрезке как на диаметре, а точки ее пересечения с окружностью со соединить отрезком Тогда его середина и будет искомой точкой (являющейся точкой пересечения отрезков и

Рисунок 103 показывает, что образом любой прямой а, не проходящей через точку О, является окружность, проходящая через точку О (за исключением самой точки О), а ее диаметр, проходящий через точку О, перпендикулярен прямой а. Докажем это строго. Пусть точка — основание перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую а, и пусть — образ точки А.

Рис. 103.

Возьмем произвольную точку на прямой а и обозначим через точку пересечения луча с окружностью, построенной на отрезке как на диаметре. Тогда из подобия треугольников и следует, что

И, наоборот, все точки лежащие на окружности с диаметром (за исключением точки О), переходят в точки прямой а. Следовательно, образом любой окружности, проходящей через точку О (с выколотой точкой О), является прямая, перпендикулярная ее диаметру, проходящему через точку О, т. е. прямая, параллельная касательной к этой окружности в точке О.

Из этого следует, что пара пересекающихся окружностей, точками пересечения которых являются точки переходит в пару пересекающихся прямых,

проходящих через точку — образ точки а пара касающихся окружностей, имеющих точку О в качестве точки касания, переходит в пару параллельных прямых.

Существует инструмент не намного сложнее циркуля, с помощью которого мы рисуем окружности, позволяющий нарисовать образ при инверсии любой данной кривой. Это приспособление, открытое Липкиным в 1781 году, было переоткрыто А. Поселье почти девяносто лет спустя и получило известность как инверсор Поселье. Оно состоит из шести шарнирно соединенных стержней, четыре из которых образуют ромб (длина стороны которого равна а два других (длины а, большей соединяют два противоположных угла этого ромба с фиксированной точкой О (см. рис. 104). Если вставить кончик карандаша в точку а в точку острие следящей иглы (или наоборот) и передвигать иглу вдоль заданной кривой, то карандаш будет вычерчивать образ этой кривой при инверсии. Действительно, если точка X — центр ромба, то

т.е. произведение является постоянным. Естественно, что конструкция прибора позволяет преобразовывать лишь кривые, лежащие внутри кольца, ограниченного окружностями с центром в точке О и радиусами

Рис. 104.

В частности, если седьмой стержень соединяет точку с фиксированной точкой расстояние которой от точки О равно длине этого стержня, то точка будет вынуждена двигаться по окружности, проходящей через точку О и, следовательно, точка будет описывать прямую или, точнее, отрезок. Таким образом, инверсор Поселье решает старую задачу — построение прямой без использования линейки (прямизна которой теоретически зависит от прямизны ранее построенной прямой).

Рис. 105.

Образом треугольника при инверсии обычно является довольно странная фигура, образованная дугами трех окружностей, проходящих через точку О. Однако, если ограничиться рассмотрением только вершин треугольника то можно получить интересный результат. Если вершины переходят при инверсии в точки как на рисунке 105, и точка О лежит внутри треугольника то из равенств

следует, что треугольник подобен треугольнику и углы, помеченные цифрой 1, равны. То же самое справедливо для углов, помеченных цифрой 2. Следовательно, угол равен сумме углов при вершинах в треугольниках и . А так как

и

то мы имеем

Аналогично

Отсюда следует, что для данного треугольника можно легко подобрать такое положение точки О, чтобы получился треугольник с любыми наперед заданными углами при вершинах Найдя такое положение точки О, мы можем изменить таким образом, изменить размер треугольника (см. упражнение 6). Можно легко подобрать указанное положение точки том случае, если она находится вне треугольника более того, даже если точки коллинеарны. Следовательно, справедлива

Теорема 5.31. Для любого данного треугольника и любых точек можно подобрать окружность инверсии так, чтобы образы этих точек стали вершинами треугольника, конгруэнтного данному.

Упражнения

(см. скан)