2. Распределение интенсивности в дифракционной картине и в спектре

2.1. Решение электромагнитной краекой задачи

Чтобы решить произвольную задачу дифракции электромагнитных волн в однородной диэлектрической среде, достаточно использовать уравнения Максвелла и задать граничные условия,

которым должно удовлетворять полное поле (падающее плюс дифрагированное). Если бы получение строгого решения уравнений Максвелла в каждом практическом случае было бы достаточно простой задачей, то все проблемы оптической дифракции и образования изображения формулировались и решались бы при помощи этих уравнений.

Если электрический вектор падающей волны обозначить через а рассеянной волны — через то вектор рассеянного поля, равный

где вектор полного поля

должен удовлетворять соответствующим граничным условиям на рассеивающей поверхности или же на границах отверстия. Простейшей границей является, очевидно, бесконечно протяженная плоскость идеального проводника, действующего как отражатель.

Рис. 1. Схема, поясняющая граничные условия (4).

В этом случае одно из граничных условий сводится к тому, что на поверхности проводника должна исчезать тангенциальная составляющая полного поля Из этого требования с помощью уравнений Максвелла сразу же получаются законы отражения электромагнитных волн.

Уравнения Максвелла для свободного пространства, записанные в дифференциальной форме, имеют вид

Эти уравнения всегда должны дополняться соответствующими граничными условиями, которые для нормальных составляющих (рис. 1) имеют вид

где поверхностная плотность заряда, а для тангенциальных составляющих

где К — поверхностная плотность тока.

Если уравнения Максвелла записать в интегральной форме, то граничные условия войдут в них неявно (рис. 2);

где вектор плотности тока. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме вместе с граничными условиями особенно удобны для решения задач дифракции электромагнитных волн (света) на границах простой формы, которые допускают раздельное решение уравнений.

Рис. 2. Схема, поясняющая уравнение (6).

К таким границам относятся границы, имеющие форму цилиндра или развернутой цилиндрической поверхности бесконечной протяженности (например, дифракционная решетка) или же форму сферы, эллипсоида, набора цилиндров, сфер и т. д. Решения становятся особенно простыми для двумерных поверхностей, которые являются функциями только двух координат (цилиндры, дифракционные решетки).

Однако строгое решение электромагнитной краевой задачи было найдено до сих пор только в очень малом числе случаев (край, щель, клин, сфера, решетка с синусоидальным профилем и т. д.). В действительности математические трудности, возникающие при решении электромагнитных краевых задач, весьма велики и сравнимы с трудностями решения краевых задач в других разделах физики (например, в квантовой теории).

Обычно интересуются дифракцией волн, имеющих вид простых гармоник

или же их суперпозиций, где амплитуда вектора, не зависимая от времени. Известно, что в этом случае векторы удовлетворяют волновым уравнениям

где Частота и длина волны X связаны соотношением

где с — скорость света. Для случая монохроматической волны имеем

а на границах

Внутри идеального проводника где поля соотношение (5) приобретает вид

т. е. ранее указанные граничные условия на поверхности проводника принимают форму

Граничное условие для поля является особенно простым на двумерных поверхностях, когда одна из координат исключается. Проиллюстрируем с помощью этого метода некоторые этапы решения дифракционной задачи. Рассмотрим плоскополяризованную волну падающую вдоль оси из вакуума (среда 1) на поверхность не зависимую от Пусть параллельна Вследствие симметрии условий дифрагированное поле также будет иметь одну компоненту магнитного поля Пусть полная -компонента магнитного поля в среде 1 равна — Для полного поля в среде 1 имеем

а на поверхности

что следует из уравнения (12). Развертывая уравнение по отдельным компонентам и замечая, что

, для полного ноля имеем

Поскольку

то получаем граничное условие

Мы установили, что граничное условие для поля сводится к следующему: производная по нормали от -компоненты полного магнитного поля должна равняться нулю на поверхности идеального проводника, если эта поверхность не зависит от координаты параллельно которой направлен вектор магнитного поля в падающей волне. В общем случае можно показать, что все производные по нормали от ковариантных компонент магнитного поля должны равняться нулю на поверхности идеального проводника, если форма его поверхности совпадает с координатной поверхностью криволинейной ортогональной системы координат.

Чтобы решить краевую задачу электромагнитной дифракции, кроме использования уравнений Максвелла и граничных условий, необходимо удовлетворить также некоторым дополнительным условиям. Одно из них — это «принцип излучения на бесконечности» Зоммерфельда, согласно которому количество энергии от источников, проходящей через конечную площадку, находящуюся на бесконечном удалении от этих источников, стремится к нулю. (На самом деле этот принцип несколько более сильный; он утверждает, что источники должны излучать, а не поглощать энергию.) Второе условие следует из закона сохранения энергии и теоремы Пойнтинга. Третье условие возникает в процессе разложения поля в ряд Фурье по плоским волнам и требует включения волн не только с действительными волновыми числами, но и с мнимыми. Для волн с мнимыми волновыми числами, т. е. затухающих волн, или же в общем случае неоднородных волн с комплексными волновыми числами, поверхность равной амплитуды не совпадает с поверхностью равной фазы. Например, в двумерном случае обычной цилиндрической линзы, вариации толщины которой создают изменения в поглощении света в линзе, поверхности равных фаз и равных амплитуд ортогональны друг другу. В оптике чаще всего встречаются именно неоднородные водны.