Восстановление в оптическом диапазоне

До сих пор мы предполагали для простоты, что восстановление выполняется на волне той же самой длины, которая используется для получения голограммы. Будем впредь обозначать через длину волны первой ступени, а через длину волны второй ступени. Используем один и два штриха также для обозначения величин при соответствующих длинах волн. То же самое формальное различие будет использовано для расстояний но здесь необходимы некоторые пояснения. Величина определяется системой получения голограммы; она равна действительному расстоянию до предмета от среднего параксиального фокуса освещающего пучка. Однако при восстановлении нет никакого физического предмета и означает просто положение плоскости, на которую должна быть сфокусирована оптическая система для того, чтобы получить правильное или по крайней мере наилучшее из возможных изображений исходного предмета.

Результат анализа — физическая тень, которую мы будем обозначать теперь описывается уравнением (42). Мы перепишем это уравнение вновь, но фурье-координаты заменим углами Из соображений симметрии будет удобно обозначать штрихом не только параметры первой ступени, но

также и координаты используемые при анализе. Напишем

где фаза равна

Это же самое уравнение применяется для восстановления предмета но все одиночные штрихи заменяются на двойные. Тот факт, что голограмма, полученная на первой ступени, используется также в процессе восстановления, выражается соотношением

где углы относятся к соответствуюшим точкам голограммы. Соотношение между ними определяется геометрией обеих ступеней голографического процесса.

Рассмотрим сначала простой случай, приведенный на рис. 1, когда фокусное расстояние коллиматорной линзы, которая на первом этапе оптически отодвигает голограмму в бесконечность, равно расстоянию при восстановлении. В этом случае углы равны, и их индексы можно опустить. Непосредственной проверкой легко убедиться, что уравнение (48) преобразуется в соответствующее уравнение для если положить

и

Преобразование переменных интегрирования х и у чисто формально. Следующие два уравнения постулируют изменение масштаба аберраций в процессе восстановления, а последнее — из условий (51) устанавливает следующее: чтобы видеть предмет заданный уравнением (52), необходимо сфокусировать систему на плоскость

Рассмотрим теперь более общий случай

когда фокусное расстояние коллиматорной линзы в раз больше расстояния при получении голограммы, причем по-прежнему предполагаем, конечно, что голограмма находится в фокальной плоскости линзы. (Сюда же относится также и тот случай, когда голограмма, используемая для восстановления, представляет собой в раз увеличенную копию исходного предмета; в этом случае параметр фигурирующий в следующих ниже уравнениях, имеет значение Углы связаны теперь соотношениями

Решение этих уравнений можно записать в виде

Можно ограничиться лишь первыми двумя членами разложения. Введем их в уравнение (48), где для простоты положим чтобы отделить изменения, обусловленные геометрией, от изменений, обусловленных сменой длины волны. Существенные свойства преобразования можно вывести из фазы определяемой уравнением (49), которое теперь запишем в виде

Члены в первой и во второй строках соответствуют точному воспроизведению, остальные члены представляют опшбки, которые возникают при Оставляя только первые четыре члена, преобразуем уравнение (48) в идентичное уравнение для взятое вместо сделав подстановки

и

Это означает, что для того, чтобы увидеть изображение, которое является в раз увеличенной копией исходного предмета, необходимо увеличить масштаб астигматизма в раз, сферической аберрации в раз и сфокусировать оптическую систему на плоскость

Но это изображение будет искажено аберрациями, которые определяются новыми членами в уравнении (55). Второй член во второй строке представляет кдму. Первый член в последней строке является дополнением к сферической аберрации и может быть введен Последний член показывает, что астигматизм второго порядка при получении голограммы приводит к астигматизму четвертого порядка при восстановлении, т. е. к сферической аберрации эллиптического типа.

Все члены, характеризующие ошибки, могут оставаться очень малыми, если только Можно показать, что наилучшие положения предмета находятся вблизи плоскости следовательно, значения х, у будут порядка даже если предмет находится в крайнем положении. Таким образом, член, характеризующий кому в уравнении (55), будет порядка

т. е., если только не выполняется условие он будет очень мал, за исключением крайних случаев, когда сферическая аберрация имеет порядок нескольких сотен полос. В таких случаях кома может достигать нескольких полос и может возникнуть необходимость компенсации комы в оптической системе при восстановлении.

Последний член в уравнении (55) имеет порядок

и также мал, если только не выполняется условие В хороших электронных линзах равно или даже меньше; следовательно, если даже сферическая аберрация имеет порядок 1000 полос, этот член представляет лишь долю полосы.

Таким образом, длину оптического устройства, используемого при восстановлении, можно выбрать заметно отличающейся от расстояния в электронном устройстве, используемом при получении голограммы. Может оказаться особенно выгодным сделать т. е. использовать увеличение имеющее порядок 100 000, не полностью, а только частично. Остаток может быть обеспечен оптической системой наблюдения. Здесь

имеется то преимущество, что можно работать с меньшими линзами, хотя и с пропорционально большей числовой апертурой. Полагая, например, и мы получим минимальный диаметр электронного пучка равным и при необходима оптическая система, способная формировать световой пучок с минимальным диаметром 6,25 см. Удобно будет уменьшить это значение в 2 или даже в 4 раза, так как изготовление оптических систем с числовыми апертурами от 0,1 до 0,2 не представляет трудностей, если нет необходимости применения больших линз.

Резюмируя, можно сказать, что если масштаб аберрации при восстановлении связан с аберрациями электронной конденсорной системы соотношениями

то поперечные размеры предмета будут увеличенными в отношении а продольные размеры — в отношении Следовательно, геометрическая, или часть, преобразования является преобразованием того же типа, что и преобразование при помощи оптических приборов с продольным увеличением, равным квадрату поперечного, в то время как часть преобразования является однородным изменением масштаба, не реализуемым в обычной геометрической оптике.

Точность, с которой должны выполняться условия (58), лучше всего выразить через число полос. Максимально допустимое отклонение волнового фронта от сферической формы без потери разрешающей способности, согласно оценке Глазера [9], равно 0,4 от длины волны, а согласно оценке Брука [10] — одной длине волны. Вторую оценку можно считать более реальной. Следовательно, условие (58) для должно быть выполнено с точностью до одной полосы. Принимая снова см и предел разрешения 1 А, в соответствии с правилом Аббе найдем, что необходимая апертура или, используя более точный числовой множитель 0,6 вместо Это дает 200 и 400 полос на краю поля, в соответствии с чем и выбирают численный множитель. Таким образом, сферическая аберрация в оптической модели должна имитировать с точностью около одной полосы на 200 или 400 полос.

На краю поля допуск на астигматизм составляет около четверти полосы. В тщательно изготовленных электронных объективах постоянная имеет величину порядка нескольких микрон, и она с помощью компенсационного метода,

предложенного Хиллиером и Рамбергом [1], может быть уменьшена по крайней мере еще на порядок. Это необходимо для реализации полной разрешающей способности современных электронных микроскопов. Снова, выражая все через число полос, можио сказать, что астигматизм в тщательно изготовленных, но не скомпенсированных электронных линзах доходит до нескольких полос при апертурах порядка 0,003. Если апертуру увеличить в 10 раз, чтобы достичь десятикратного улучшения разрешающей способности, то искажение будет порядка нескольких сотен полос. Следовательно, необходимо имитировать в оптическом восстанавливающем устройстве также с точностью до одной полосы на несколько сотен полос.

Можно предположить, что для имитации параметров электронно-оптической системы необходимо сначала тщательно из-мерить и затем по этим данным рассчитать соответствующую оптическую систему. Однако это едва ли подходящий для практики метод. При его использовании, помимо трудностей осуществления измерений с требуемой точностью, обнаруживается еще и такой недостаток, что к тому моменту, когда расчет закончен и оптическая копия системы изготовлена, изменения параметров электроннооптической системы, вероятно, намного превысят допустимую ошибку. По-видимому, более предпочтительно сделать астигматизм и сферическую аберрацию оптической системы, используемой при восстановлении, переменными и регулировать их до тех пор, пока не будет достигнута максимальная резкость изображения определенной части изучаемого предмета, например подложки, или же определенных стандартных тест-объектов. Сферическую аберрацию можно сделать переменной с помощью смещения пластинки четвертого порядка, а астигматизм — с помощью скрещенных цилиндрических линз или наклонных линз. Опытные оптики, несомненно, будут в состоянии установить порядок систематического выполнения трех юстировок: фокуса, астигматизма и сферической аберрации. Таким образом, необходима лишь умеренная степень постоянства параметров электронно-оптической системы, достаточная по крайней мере для осуществления серии восстановлений без слишком частых юстировок.