4. Критерии разрешения Аббе и Релея

В качестве следующего примера, иллюстрирующего достоинства понятия двойной дифракции, рассмотрим проблему разрешающей способности на языке тех качественных рассмотрений, которые были сделаны в разд. 3, Мы покажем, что понятия

ной дифракции позволяют весьма прямым путем определить разрешающую способность по предмету, и полученный критерий разрешения (критерий Аббе) хорошо согласуется с известным критерием Релея.

Рассмотрим когерентно освещенный, периодически поглощающий предмет с периодом (рис. 7), и пусть комплексная амплитуда его равна

В соответствии с теорией преобразования Фурье в зрачке линзы образуется дифракционная картина (спектр)

В данном случае дифракционная картина состоит из двух разделенных плоских волн, которые (если предмет мал) условно двоиизображаются двумя пиками на спектре.

Рис. 7. Критерий разрешения Аббе при когерентном освещении. (Эквивалентный критерий Релея рассматривается на рис. 8.)

Для удобства эти пики назовем спектральными линиями.

Пусть апертура линзы-объектива, через которую рассматривается предмет. Если две спектральные «линии» попадают в апертуру, то, согласно теории преобразования Фурье, амплитуда изображения будет равна

а интенсивность изображения

Эти выражения показывают, что изображение имеет же периодичность, Что и амплитуда предмета. Фактически предмет

полностью разрешим ввиду того, что две волны, которые создаются предметом при первой дифракции, полностью проходят через линзу и образуют изображение при второй дифракции.

Полное разрешение будет получаться только в том случае, если обе спектральные линии попадают в апертуру. Из рис. 7 видно, что разрешение сохраняется без потери контраста вплоть до

где - фокусное расстояние линзы т. е. вплоть до

где наименьший период предмета (решетки), который можно разрешить согласно критерию Аббе (7).

Рис. 8. Критерий разрешения Релея при когерентном освещении. (Эквивалентный критерий Аббе рассмотрен на рис. 7.)

Критерий Аббе (7) можно сравнить с хорошо известным критерием Релея (рис. 8). В случае когерентного освещения критерий Релея можно записать в виде

где предел разрешения в плоскости предмета. Из сопоставления выражений (7) и (8) мы можем заключить, что критерии Аббе и Релея в действительности эквивалентны. Однако в большинстве случаев критерий Аббе позволяет лучше понять условия эксперимента, влияющие на окончательный предел разрешения. Это имеет место, например, в голографии.