2. Свертка

Интегральная операция свертки появляется в оптике столь же естественно, как и при описании любой другой линейной системы. Краткое рассмотрение, приведенное ниже, имеет важное значение для понимания многих разделов книги.

2.1. Определение свертки

По определению свертка получается из двух функции с помощью интегральной операции

где независимая (текущая) переменная, а представляет ряд последовательных значений сдвига функции относительно Интеграл от произведения перекрывающихся частей функций определяется при одном таком сдвиге Другими словами, функция в аналитической или графической форме получается путем последовательного определения интеграла от произведения двух функций когда эти две функции последовательно сдвигаются друг относительно друга. Значения интеграла находятся для каждого сдвига функции относительно включая значение которое соответствует значению когда две функции «совпадают», т. е. имеют общую абсциссу.

Ради компактности интеграл свертки (21) часто удобно записать в виде

2.2. Кратные свертки и свертки нескольких функций

Двойной интеграл свертки двух функций независимых переменных можно записать в виде

Возможно получение свертки более чем двух функций, которая также имеет физический смысл, в частности в оптике (в интерферометрии, спектроскопии, голографии и т. д.). Например, функция пропускания или аппаратная функция интерферометра Фабри — Перо, в зависимости от волнового числа где X — длина волны света в сантиметрах, определяется, согласно Шаббалю [6], следующим уравнением:

где так называемая функция Эри, характеризующая пропускание интерферометра Фабри — Перо (эта функция используется в физической оптике); - функция рассеяния, характеризующая несоверщенство зеркал интерферометра

Фабри — Перо, а функция, характеризующая протяженность источника, который всегда имеет конечные размеры, в то время как при выводе функции Эри источник рассматривался точечным. Напомним, что функция Эри может быть получена в виде

где коэффициенты отражения и пропускания зеркал Фабри — Перо, расстояние между зеркалами, коэффициент преломления среды между зеркалами, угол, образуемый плоской волной в пространстве между зеркалами с оптической осью.

Можно сказать, что функция, аналогичная описанной выражением (24), характеризует и другие спектроскопические приборы, например спектрометры с дифракционными решетками. Уравнения, близкие к уравнению (24), описывают работу интерферометрических устройств, используемых при получении голограммы, а также во многих применениях голографии.

2.3. Теорема свертки (фурье-образ свертки)

Фурье-образ свертки равен произведению фурье-образов двух функций. Докажем также обратную теорему: фурье-образ произведения двух функций равен свертке фурье-образов двух функций.

Чтобы доказать прямую теорему свертки, рассмотрим функцию

Пусть

осуществляется с помощью преобразования Фурье,

Теперь изменим порядок интегрирования в выражении (28), опираясь на обычные в этом случае предположения, затем внесем

экспоненциальный множитель в скобки и вынесем за скобки:

Теперь применим к (29) теорему смещения фурье-образа (9а). Мы замечаем, что скобку в (29) можно записать гак:

где обозначает фурье-образ функции Уравнение (29) можно теперь записать в виде

Поскольку можно при интегрировании по вынести за интеграл, выражение (31) окончательно принимает вид

в последнем выражении легко распознать произведение фурье-образов

Таким образом, можно заключить, что если

и

то

т. е.

Уравнение (34) представляет собой первую теорему свертки, которая утверждает, что фурье-образ свертки двух функции равен произведению фурье-образов двух функций.

Теперь приведем вторую теорему свертки. Пусть свертка двух функций

и пусть фурье-образ функции т. е.

или

Подставив выражение (37) в (35), получим

Вследствие равномерной сходимости второго интеграла по мы можем изменить порядок интегрирования в уравнении (38) на обратный, в результате чего получим

Второй интеграл равен т. е. фурье-образу и окончательно выражение (39) можно записать в таком виде

Сравнивая выражения (40) и (35), можно получить

Уравнение (41) показывает, что фурье-образ произведения двух функций равен свертке фурье-образов двух функций.