7.2. Синусоидальный по интенсивности предмет имеет функцию пространстненно-частотного отклика, совпадающую с фурье-образом дифракционной картины

По аналогии с простой гармонической функцией времени

с периодом рассмотрим синусоидальный по интенсивности предмет

где и - пространственные периоды предмета в плоскости ( Напомним, что в рассматриваемом анализе действительную часть комплексной функции, описывающей предмет и изображение соответственно, необходимо выделять только в конце расчетов. С учетом преобразования в плоскость функцию, характеризующую предмет, можно записать в виде

где являются теперь «частотами» в плоскости (х,у).

Покажем теперь, что изображение синусоидального предмета также является синусоидальным, характеризуется той же частотой или периодом, но в соответствии с передаточной функцией имеет меньший контраст и сдвиг по фазе. Рассмотрим соотношение

Согласно разд. 2 гл. 7, интеграл свертки является коммутативной операцией, и мы имеем

или

что можно записать в виде

Замечая, что интегрирование в выражении (31) ведется по получаем

Наконец, с помощью (23) мы обнаруживаем, что интеграл в выражении (32) есть не что иное, как передаточная функция

Рис. 4. Функция частотного отклика при некогерентном освещении.

Окончательно изображение синусоидального предмета мы можем записать в следующем виде:

т. е.

Также можно написать

Это соотнощение показывает, что передаточная функция в случае синусоидального по интенсивности предмета равна отнощению функции распределения интенсивности синусоидального изображения к соответствующей функции синусоидального предмета. В действительности, поскольку мы имеем дело с комплексными амплитудами предмета и изображения, соотношение (35) следует записать в виде

а

т. е.

Графическая иллюстрация соотношения (35) для синусоидального предмета дана на рис. 4. В случае предмета, который можно разложить в спектр (ряд или интеграл) синусоидальных по интенсивности фурье-компонент, каждая пространственная частота дает одну точку на графике передаточной функции данного прибора. Конечно, каждой точке графика передаточной функции отвечают амплитуда и фаза .

Рис. 5. Частотный отклик при возбуждении пространственным сигналом прямоугольной формы и некогерентном освещении.

Наконец, мы знаем, что передаточную функцию можно получить с помощью операции свертки волнового фронта (23)

Пример для случая действительной функции в пределах бесконечно длинной щели щириной приведен на рис. 5.