4. Компенсация протяженности источника в голографии

Если при регистрации или восстановлении используются протяженные источники, то разрешение по изображению уменьшается, в результате чего изображение точечного предмета размывается подобно тому, как это описано в гл. 3. Согласно выражению (17) гл. 3, потери разрешения вызываются тем, что при получении голограммы осуществляется интегральная операция свертки предмета с источником. Изображение точечного предмета размывается до размеров источника; этот процесс более подробно будет рассмотрен ниже. До недавнего времени считалось, что использование протяженных источников вместо точечных приводит к безвозвратной потери разрешения. В рентгеновской голографии такие потери были бы особенно велики, так как источники размером менее 00 А отсутствуют, а предельное разрешение определяется длиной волны, равной 1 А.

Весьма важный прогресс в голографии и вообще в системах образования изображений при когерентном освещении был

достигнут в работах Строука и его сотрудников [31]. Авторы этих работ указали на парадоксальную возможность «возрождения» разрешающей способности при восстановлении. Было доказано, что для этого голограмму, полученную с помощью протяженного источника, необходимо осветить также протяженным источником. Структура последнего должна быть такой, чтобы функция корреляции предмета и источника имела вид узкого пика, ширина которого равна требуемому разрешению. Такими свойствами обладают источники с широким спектром пространственных частот, например зонные пластинки Френеля или другие конфигурации, которые можно получить с помощью интерференции.

4.1. Краткая теория

Чтобы проиллюстрировать этот важнейший вывод, рассмотрим сначала теорию метода в том кратком виде, как она была изложена в работе [31].

Рассмотрим в качестве модели простейшую схему получения одномерных голограмм Фурье (рис. 23). В плоскости, где находится предмет, описываемый комплексной амплитудой располагается точечный источник с амплитудой Однако в отличие от прежней схемы рассмотрим теперь протяженный источник пространственно-когерентного света с комплексной амплитудой

где а — эксцентриситет или смещение источника относительно «центра тяжести» предмета, который описывается комплексной амплитудой

Теми же шагами, что и при выводе соотношения (28), получим распределение интенсивности по голограмме

где фурье-образы предмета То и источника соответственно [соотношение (33)].

Если теперь голограмму осветить точечным источником, как это делается в обычной схеме голографии Фурье (разд. 3 настоящей главы), то возникнут два внеосевых изображения, соответствующих второму и третьему членам уравнения (46). Чтобы найти амплитуду верхнего и нижнего изображений, необходимо найти фурье-образ комплексного амплитудного пропускания

(47), используя для этого соотношения (57) и (9) гл. 7. Тогда второй и третий члены уравнения (46) примут вид

и

где символ означает операцию корреляции гл. 7]. Так как коэффициент увеличения принят равным единице, то в качестве координаты изображения можно взять Очевидно, изображения будут размыты в результате их корреляции с протяженным источником

Осветим теперь голограмму вместо точечного источника некоторым протяженным источником который может и не совпадать с Если фурье-образ равен то комплексное амплитудное пропускание голограммы для второго члена уравнения (46) имеет вид

Фурье-образ этого выражения с учетом соотношений (34а), (57) и (9) гл. 7 описывает верхнее внеосевое изображение

где символ означает операцию свертки [соотношение (22) гл. 7].

Если корреляция

равна дельта-функции, то мы получим

Это уравнение гласит, что верхнее восстановленное изображение идентично самому предмету в том случае, если операция корреляции между амплитудой восстанавливающего источника и комплексно-сопряженной амплитудой имеет вид -функции. Иными словами, при соблюдении такого условия применение протяженных источников в голографии не приводит к потере разрешения.

Если, например, то

является функцией автокорреляции источника. Если содержит широкий спектр пространственных частот, то величина, определяемая выражением (52), имеет вид функции с очень узким

центральным максимумом. Чтобы различные пространственные частоты были представлены достаточно полно, требуется протяженный источник определенных размеров. Но именно это и повышает светимость источника, столь желательную в голографических системах. В качестве примера такого класса протяженных источников мы уже упоминали зонные пластинки Френеля.

Эксперименты по компенсации разрешающей способности описанным здесь методом иллюстрируются рис. 28 и 29. Из рис. 28 видно, что даже весьма произвольный выбор источника в виде дает возможность добиться достаточно полной компенсации размытия верхнего изображения. Однако размытие нижнего изображения остается нескомпенсированным. Это вызвано тем, что описанное выше преобразование не годится для компенсации последнего члена уравнения (46): оно может скомпенсировать лишь второй член этого уравнения.

В самом деле, если голограмма, как и прежде, освещается источником то в результате преобразования Фурье, выполняемого над последним членом уравнения (46), возникнет изображение, описанное выражением

или, если

В общем случае свертка не равна дельта-функции, если только источник не обладает двукратной симметрией вращения относительно оптической оси (рис. 2 гл. 7). Таким образом, необходимо четко различать обычно полезную функцию автокорреляции источника от не всегда полезной свертки Это различие иллюстрирует рис. 28, а. Верхнее изображение получается при помощи операции корреляции, и поэтому его размытие удается компенсировать. Нижнему изображению соответствует операция свертки, и оно остается размытым.

В заключение отметим, что в ряде применений различие между свойствами операции свертки и корреляции может оказаться полезным. Например, комплексно-сопряженное изображение в первоначальной схеме микроскопа Габора можно подавить, если использовать источник такой формы, которая не обладает двукратной симметрией вращения!

Прежде чем сформулировать дальнейшие выводы, приведем более строгое доказательство результатов, кратко изложенных выше.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

4.2. Строгая теория

Рассмотрим чертеж, изображенный на рис. 27. Пусть функция пропускания предмета, как и раньше, равна

а функция пропускания источника есть

Излучение, прошедшее сквозь предмет, создаст на голограмме электрическое поле с амплитудой

где расстояние от источника до точки х на голограмме. Разлагая бином в приближении получаем

Если фурье-образы и соответственно, то поля, создаваемые предметом и источником в плоскости голограммы, равны

Фотопластинка зарегистрирует интенсивность

Комплексная амплитуда поля, возникшего при освещении голограммы, зависит от интенсивности Если голограмму осветить плоской волной, что соответствует применению точечного источника при восстановлении, то, разлагая в ряд около значения средней интенсивности получим

Подставляя выражение из (59) в (60), находим

Внеосевое изображение первого порядка описывается комплексным коэффициентом

Выясним условия, при которых первый член соотношения (62) играет основную роль. Перепишем соотношение (59) в виде

где

Произведя двукратное разложение трехчлена (63) по формуле бинома, получим

Однако для первого члена внеосевого изображения

или

В этом случае

Рассмотрим теперь фурье-образ типичного слагаемого этой суммы

в соответствии с соотношением (64)

Теперь предположим, что

и

где

и

Также замечаем, что

так как постоянная величина. Отсюда следует, что

Повторяя эту операцию раз и учитывая, что

для любого мы получаем вместо соотношения (69) следующее выражение:

Снижая далее степень В с помощью аналогичной процедуры, находим

Сравнивая соотношение (79) с первым членом выражения (62), мы видим, что они идентичны по форме. Отсюда мы можем сделать вывод, что члены более высокого порядка в выражении (62) пренебрежимо малы при условии, если равенство

выполняется с достаточно хорошим приближением. Тогда выражение (62) принимает вид

В заключение необходимо получить восстановленное изображение. Для этого найдем фурье-образ выражения (80). С целью

общности предположим, что восстановление производится на другой волне света и при другом фокусном расстоянии Пусть фурье-образ равен

где I — координата в плоскости изображения, т. е. в фокальной плоскости линзы, осуществляющей преобразование Фурье и имеющей фокусное расстояние

Используя при интегрировании (81) промежуточные переменные и учитывая выражение (80), получаем

Уравнение (82) гласит, что амплитуда бокового изображения равна функции корреляции и имеющей эксцентриситет а относительно оптической оси и увеличенной в число раз, равное

Это согласуется с выражением (48) и коэффициентом увеличения, определяемым выражением (13). Такое согласие позволяет прийти к выводу, что упрощающие предположения, сделанные в предыдущем разделе, вполне приемлемы. Таким образом, приближенная формула действительно дает правильные результаты, если справедливы условия (71) и (72).

4.3. Некоторые выводы

Можно утверждать, что метод компенсации протяженного источника найдет применение в интерферометрии, а также в голографии. Можно также предполагать, что схема компенсации

может примениться при оптической фильтрации либо в сочетании с методами фильтрации, либо даже вместо них.

Наконец, важно подчеркнуть тесную аналогию, имеющуюся между методом компенсации протяженного источника с помощью операций корреляции при когерентном освещении и методом, основанным на использовании согласованного фильтра при некогерентном освещении, например в спектроскопии (спектроскоп Жирара на решетках). Эта аналогия позволяет сделать вывод (который не кажется очевидным с первого взгляда), что метод компенсации протяженного источника — это, по существу, метод, основанный на использовании согласованного фильтра при когерентном освещении.