2.2. Проблема образования изображения и принцип Гюйгенса

Используя некоторые существенные приближения, можно, как правило, показать, что гюйгенсовское решение в оптике (как, например, ее «строгая» векторная форма в формулировке преобразования Фурье) выводится из уравнений Максвелла. Одно из главных приближений состоит в том, что принцип Гюйгенса применим только вблизи центра квазисферического волнового фронта, образующего изображение. При рассмотрении проблем дифракции 11 образования изображений необходимо отдавать себе отчет в приближенном характере принципа Гюйгенса. И во всяком случае кажущаяся простота принципа Гюйгенса даже в той его приемлемой форме, которая получена эвристически на базе принципа суперпозиции и спектрального разложения по плоским волнам, не должна служить оправданием для его использования в качестве основы «строгого» решения, получаемого путем добавления к первоначальному приближению членов более высоких порядков. Однако, если правильно использовать принцип Гюйгенса, выраженный с помощью преобразования Фурье, то он становится достаточно универсальным средством для рассмотрения проблем образования изображений. В частности, его применяют для отыскания распределения интенсивности в пределах дифракционной картины, образуемой волновым фронтом конечного размера при отражении, преломлении и дифракции света в оптических элементах (зеркалах, линзах, призмах, решетках).

Точное выражение принципа Гюйгенса, которое получается из уравнений Максвелла, имеет следующий вид;

где комплексная амплитуда вектора электрического поля в точке Плоскости изображения вблизи центра квазисферического волнового фронта радиусом направляющие косинусы, определяющие положение точки если наблюдатель находится на апертуре с центром в точке О квазисферического волнового фронта; координаты, определяющие точку на апертуре; А(х, у) — отклонение волнового фронта от сферичности; а амплитуда на волновом

фронте. Направляющие косинусы а также координаты х и у относятся к квазиплоскому участку волнового фронта в совершенной фокусирующей системе (зеркало или линза). В такой фокусирующей системе плоская волна преобразуется в сферическую. Совершенная система преобразует квазиплоскую волну в квазисферическую. Кроме того, если учесть сделанные приближения, аберрации плоской волны тождественны аберрациям сферической волны.

Уравнение (18) имеет вид преобразования Фурье и выражает следующее: комплексная амплитуда вектора электрического поля в точке на плоскости изображения равна фурье-образу распределения комплексной амплитуды электрического поля в пределах апертуры, образующей изображение. При этом, очевидно, электрические векторы в пределах апертуры и плоскости изображения параллельны самой плоскости изображения. Преобразование Фурье необходимо выполнить для каждой точки дифракционной картины. Например, для совершенно однородной плоской волны в пределах прямоугольной апертуры шириной А вдоль оси и мы имеем

или, интегрируя,

Таким образом, комплексная амплитуда изменяется в плоскости изображения как известная функция которая имеет первый минимум при

где фокусное расстояние оптической системы. Все приемники (фотоэлектрические, фотографические и т. п.) регистрируют только интенсивность

Зйездочка здесь означает «комплексное сопряжение». Интенсивность изменяется как и первый минимум ее, естественно, расположен на расстоянии от центрального максимума. Обычно называют дифракционной картиной, соответствующей апертуре А.

Уравнение (18), которое описывает дифракцию на бесконечности, обусловленную апертурой, может быть доказано эвристически на основе принципа суперпозиции и принципа Гюйгенса, если вкладывать в него обычный смысл. Рассмотрим зрачок в плоскости и точку в центре элемента поверхности этой плоскости. Элемент поверхности с центром испускает элементарную волну где скалярная компонента вектора в зрачке. В направлении, определяемом направляющими косинусами волна из имеет сдвиг по фазе по отношению к фазе элементарной волны, испущенной из центра зрачка О. Благодаря суперпозиции волна в направлении равняется сумме этих волн

Все элементарные волны, посылаемые или пропускаемые зрачком в направлении а фокусируются совершенной фокусирующей системой в одну точку фокальной плоскости, так что

Поскольку то для координат изображения в фокальной плоскости фокусирующей системы

и

где фокусное расстояние. Дифракционную картину описывают следующие уравнения:

и

которые совпадают с выражениями для дифракционной картины, полученными из уравнений Максвелла (18) с использованием указанных там приближений.

Таким образом, задание распределения комплексной ампли туды (по амплитуде и фазе) электромагнитного поля в пределах апертуры независимо от того, как образовалось это поле,

позволяет нам рассчитать дифракционную картину, соответствующую данному распределению поля в пределах данной апертуры. Однозначное соотношение, существующее при указанных приближениях между распределением поля в апертуре и распределением света в дифракционной картине, имеет вид преобразования Фурье. Широкое использование операторного метода расчета при решении проблем образования изображения уже дало плодотворные результаты. В частности, была выявлена фундаментальная аналогия между задачами радиосвязи и задачами образования изображения и спектроскопии, для решения которых в равной мере подходят и принцип суперпозиции и операторный метод. Один из методов, с помощью которого можно воссоздать распределение комплексной амплитуды в плоскости апертуры линзы, сводится к тому, чтобы поместить в апертуру голограмму и дополнительно осветить ее плоской или сферической волной.