Глава 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. ОПЕРАЦИИ СВЕРТКИ И КОРРЕЛЯЦИИ. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ, ИЛИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Преобразование Фурье и его различные приложения к операциям свертки, корреляции и распределениям в настоящее время уже вошли в арсенал теоретической оптики и стали ее неотъемлемым инструментом. Это видно на примерах теории образования изображения, интерферометрии, спектроскопии и, наконец, голографии. Даже элементарное рассмотрение теории преобразования Фурье, приведенное ниже, дает исследователям универсальное средство для анализа различных задач физической оптики, теории дифракции и интерферометрии. А во многих случаях использование только таких теорем, как теоремы смещения или теоремы свертки, которые будут даны в следующих разделах, позволяет быстро находить решения целого ряда задач, которые в прошлом требовали применения специально разработанных и часто весьма громоздких методов.

1. Преобразование Фурье

Если задана действительная или комплексная функция действительного переменного х, меняющегося в пределах от до такая, что существует интеграл

т. е. функция принадлежит к классу то фурье-образ этой функции определяется выражением

Часто выражение (2) записывается сокращенно в виде

или

где символ обозначает преобразование Фурье, или фурье-образ функции, а стрелка обозначает сам процесс преобразования.

Аналогично можно представить обратное преобразование Фурье, которое получается, если в экспоненте взять знак минус:

Если функция принадлежит к классу то

или в сокращенном виде

или, наконец,

где символ означает обратное преобразование Фурье, или инверсный фурье-образ.

1.1. Некоторые свойства преобразования Фурье

Приведем, как правило, без доказательства те свойства, которые очень часто используются в оптике.

1.2. Линейность

Пусть комплексные постоянные. Из определения (2) непосредственно следует, что если

то

1.3. Теорема смещения

Это наиболее важное свойство выражается соотношением, которое нетрудно доказать. Свойство смещения фурье-образа состоит в следующем.

Если

то

где постоянная. Функция получена из первоначальной функции путем смещения начала отсчета в точку Действительно,

Если произвести замену переменных

то

преобразуется в

что и требовалось доказать.

1.4. Обратная теорема смещения

Это свойство является симметричным предыдущему, и его тоже легко доказать. Если

то

где постоянная.

Если фурье-образ существует, то выражения (9) и (10) можно записать в следующем виде:

далее

и

Легко убедиться в целесообразности следующих обозначений (рис. 1):

где, например, выражение соответствует функции если начало координат перенесено из точки в точку

Рис. 1. Теорема смещения фурье-образа, вытекающая из (9).

С помощью выражений мы можем записать систему (9) и (10) в такой форме

Наконец, следует обратить внимание на то, что различие между фурье-образом, который содержит и инверсным фурье-образом, содержащим имеет существенное значение, когда производят сложение или вычитание двух фурье-образов (96) и (9в). Соответствующим примером служат соотношения (58) — (64).

1.5. Таблица свойств преобразования Фурье

Таблица свойств преобразования Фурье, приводимая без доказательств, дана здесь ввиду значимости этих свойств для многих оптических задач. Большинство необходимых доказательств легко выполнить по схеме, использованной в предыдущем разделе. Если постоянные величины, то

1.6. Двумерное и многомерное преобразования Фурье

Если учесть очевидное ограничение [как и в случае соотношения (1)], то вместо можно использовать переменные а также и соответствующие кратные интегралы в формулах преобразования.

1.7. Изменение масштаба и преобразование Фурье

Докажем, что если

то

где а — комплексная постоянная с модулем Нам требуется доказать

Пусть Рассмотрим сначма Если то и

Теперь пусть Если то и

В общем случае имеем

что и требовалось доказать.

Особый случай изменения масштаба возникает при

Важный класс преобразования комплексно-сопряженной функции рассматривается в следующем разделе.

1.8. Фурье-образ комплексно-сопряженной функции

Этот важный класс преобразований встречается в оптике очень часто. Пусть комплексно-сопряженная функция к Иначе говоря, получается из путем замены всех на Учитывая это, найдем, что

Действительпо, сразу получаем

что и требовалось доказать.

1.9. Тригонометрическая форма преобразования Фурье

Часто используется следующая тригонометрическая форма преобразования Фурье:

1.10. Свойства симметрии

Используя предыдущие уравнения, легко доказать следующие важные соотнощения.

Если действительна, т. е.

то

или

Если действительна и четна, т. е.

то

Если действительна и нечетна, т. е.

то