Освещение сферической волной

Чтобы более подробно изучить процесс восстановления, будет полезно начать с простого случая освещения точечным источником. Такое освещение может быть в первом приближении осуществлено с помощью достаточно малого отверстия, используемого в качестве источника света. Вначале будет удобно ограничить обсуждение двумерными предметами, занимающими часть замкнутой поверхности которая включает точечный источник О. Предмет в точке поверхности может быть охарактеризован коэффициентом пропускания амплитуды который равен отношению комплексных амплитуд по обе стороны от в окрестности точки Коэффициент вообще говоря, комплексный; он действителен лишь в случае чисто поглощающих предметов. Вполне очевидно, что понятие коэффициента пропускания (действительного или комплексного) не применимо к предмету, который является двумерным в математическом смысле. Что же касается физического предмета, к которому это понятие применимо, то мы должны предположить, что его толщина равна по крайней мере нескольким длинам волн. Более того, мы должны предположить, что вдоль поверхности функция не изменяется заметно в пределах длины волны. Таковы условия применимости теории дифракции Френеля — Кирхгофа. В электронной оптике при использовании быстрых электронов с длиной волны около 0,05 А эти условия всегда выполняются, так как не существует предметов (исключая атомные ядра), чьи физические свойства изменялись бы значительно в пределах расстояния около десяти длин волн,

С учетом этих ограничении мы можем применить дифракционную формулу Френеля — Кирхгофа (ср., например, [6, стр. 73]). Обозначения пояснены на рис. 2.

Рис. 2. Схема, поясняющая дифракционную формулу Френеля — Кирхгофа.

Если в точке положен источник монохроматического излучения единичной интенсивности, то амплитуда освещающей волны равна

где расстояние, отсчитываемое от точки Наличие предмета на поверхности 2 приводит к изменению амплитуды за точкой до значения

Применим теперь эту формулу для того, чтобы рассчитать «физическую тень» плоского предмета на бесконечности. Физическая тень включает дифракционные эффекты, и ее необходимо отличать от «геометрической тени», в которую она переходит при неограниченном уменьшении длины волны.

Поскольку используемые на практике пучки имеют углы расходимости порядка 0,05 или меньше, мы можем положить и считать множитель постоянной величиной. Мы также опустим постоянный множитель и запишем уравнение (7) в упрощенной форме

Используя обозначения, которые поясняются на рис. 3, получаем следующее выражение для расстояния от начала отсчета до некоторой точки в плоскости предмета

В этом разделе мы будем использовать лишь два первых члена разложения.

Точка наблюдения может быть расположена в направлении оси на некотором расстоянии очень большом по сравнению с (практически на бесконечности), так что мы можем написать

Первые члены в выражениях для определяют постоянные фазовые множители, не зависящие от х и у, которые могут быть опущены.

Рис. 3. Схема для пояснения обозначений.

Остающаяся существенная часть (7.1) может быть названа «амплитудой волны, распространяющейся в направлении и равна

Если пределы интегрирования не указаны, то в этой статье далее всегда будет подразумеваться, что интегрирование производится в бесконечных пределах. Так как фаза в подынтегральном выражении справедлива лишь для малых углов, уравнение (8) имеет физический смысл только в том случае, если быстро убывает до исчезающе малых значений вне малой центральной области.

Теперь вместо направляющих косинусов удобно ввести «фурье-координаты» с помощью соотношений

Связь этих переменных с координатами в плоскости, расположенной на большом расстоянии определяется выражениями

Если угол расходимости освешаюшего пучка достаточно мал, то можно рассматривать как координаты в плоскости физической тени. Геометрическая тень точки имеет фурье-координаты Величина

является единственным параметром дифракционной задачи. Квадратный корень из нее можно рассматривать как характеристическую длину. Далее будет показано, что детали с размерами, большими имеют тени, более или менее подобные самим деталям, однако тени более мелких деталей при дифракции теряют всякое сходство с самими деталями.

Используя обозначения (9) и (10), а также подстановку уравнение (8) можно записать в виде

Таким образом, амплитуда волны, распространяющейся в направлении равна, согласно стандартным обозначениям [7], фурье-образу функции

Мы можем сразу же написать выражение и для обратного преобразования

Полезно исследовать эти преобразования чисто математически, временно пренебрегая условиями, которые должны быть наложены на функцию чтобы придать ей физический смысл. Прежде всего мы представим их в более симметричной форме. Предположим, что амплитуда получается при прохождении освещающей волны через «тень предмета» в плоскости обладающую пропусканием (Можно отметить, что вообще говоря, комплексная величина; следовательно, тень предмета не может быть заменена фотографическим негативом.) Другими словами, пусть

Фон можно получить непосредственно из уравнения (11), положив и обозначив

Окончательно фурье-образ и прообраз описываются симметричными формулами

Их можно назвать прямым и обратным «теневыми преобразованиями», а функции -парой «теневых образов». Они, конечно, тесно связаны с фурье-образами, хотя в некоторых отношениях и проще их.

Преобразования (14) и (15) можно получить одно из другого с помощью следуюпдего правила. Заменим на х на у на т. е. латинские символы греческими, а также заменим на на Два последовательных преобразования восстанавливают исходный предмет. Физически это означает, что если бы вместо фотографии мы могли бы получить «тень предмета», поглощение и преломление в которой определяются функцией и осветили бы ее когерентным фоном, то мы должны были бы в точности восстановить предмет в его первоначальном положении. Так как фотография не может передать мнимую часть функции то при освещении ее когерентным фоном возникает определенная остаточная волна, которую мы рассмотрим в следующем разделе. Но сначала полезно рассмотреть несколько примеров теневых преобразований.

Как и в случае интегралов Фурье, образы экспоненциальных функций от квадратичных форм особенно просты и поучительны. Удобно записать их в следующем виде:

Это - произведение множителя, зависящего от х, на множитель, зависящий от у, а так как образ в свою очередь равен произведению сомножителей, зависящих от , то достаточно найти образ функции

который равен

Следовательно, теневой образ экспоненциальной функции от квадратичной формы является функцией того же самого типа,

что и фурье-образ экспоненты, но соотношение между параметрами будет другим. Например, если постоянная величина, то будет равно той же самой постоянной, в то время как фурье-образ постоянной величины есть дельта-функция, которая обрашается в нуль всюду, кроме точки, где аргумент равен нулю. Далее теневой образ гармонической функции

снова является гармонической функцией

Период тени равен что совпадает с геометрической тенью периода Единственное отличие заключается в фазовом множителе -Если период велик по сравнению с характеристической длиной то фазовый множитель стремится к единице. Это означает, что если предмет не содержит более мелких деталей, нежели то физическая тень стремится к геометрической:

Уравнения (16.3) и (16.4) указывают простое правило построения теневого образа предмета путем разложения функции в интеграл Фурье с периодами Фурье-коэффициенты образа будут отличаться от оригинала только фазовым множителем

Для практических целей этот метод следует использовать осторожно, так как бесконечные цуги периодических функций не очень пригодны для описания малых предметов и так как применимость уравнений (14) и (15) к физическим процессам, строго говоря, ограничена предметами, которые заметно пропускают свет лишь в области