7.1. Процедура изготовления согласованного фильтра и операция фильтрации

Пусть фильтр описывается выражением

Пусть функция пропускания слова «CHRIST», которое подлежит фильтрации. Можно записать

В результате преобразования Фурье функция преобразуется в функцию

которую можно наблюдать в фокальной плоскости линзы 1.2. Опорный сигнал

создается по схеме, приведенной на рис. 16, где, согласно выражению (6а) гл. 3, координаты равны

Пусть сдвиг вдоль оси фильтруемого сигнала относительно точечного опорного источника (рис. 16). В фокальной плоскости линзы в результате преобразования Фурье сигнал имеет комплексную амплитуду

в соответствии с уравнением

Если написать

то благодаря сдвигу на величину функция [выражение (9а) гл. 7] станет равна

где

является линейной функцией и. Поэтому функция представляет собой плоскую волну, наклоненную под углом

к оси I (см. рис. 16).

Распределение интенсивности регистрируемой в фильтре, описывается выражением

т. е.

или

Однако требуемый фильтр описывается, согласно выражению (22), функцией а не функцией

Вопрос стоит так: каким образом требуемый фильтр можно выделить в изготовленном фильтре Ответ: такое разделение происходит автоматически путем дифракции в системе оптической фильтрации, изображенной на рис. 15. Это можно доказать следующим образом.

Для простоты предположим вначале, что комплексное амплитудное пропускание фильтра пропорционально распределению интенсивности зарегистрированной в фильтре, причем коэффициент пропорциональности равен 1. В действительности это предположение верно в том случае, когда интенсивность опорного пучка примерно в 10 раз больнге величины и экспозиция и проявление фотопленки производятся при контрасте (см., например, гл. 6). Для других значений у комплексная амплитуда на выходе фильтра будет умножаться на а комплексная амплитуда волны, вышедшей из фильтра, все еще будет пропорциональна

Обращаясь к рис. 15 и выражению (35), мы видим, что комплексная амплитуда поля, появляющегося на выходе фильтрующего устройства, равна

Затем с помощью линзы это поле (36) подвергается преобразованию Фурье. В выражении (36) мы различаем три отдельных члена и обнаруживаем, что соответствующие изображения получаются в плоскости путем преобразования Фурье с использованием следующих уравнений (как это показано в других разделах):

Здесь для общности опорный точечный источник помещен в точку [см. рис. 16 и выражение (31)].

Таким образом, мы обнаруживаем, что преобразование Фурье над выражением (36) дает следующие компоненты

изображения [см. выражения (12), (13), (41) и (62) гл. 7]:

Здесь символ означает операцию свертки, -операцию корреляции, согласно выражениям (22) и (52) гл. 7 соответственно. По обе стороны от оптической оси видны два изображения. Одно из них является сверткой, а другое — корреляцией функции фильтруемого изображения с функцией фильтра Эти изображения отделены от компоненты смещения, если 6 и с выбраны достаточно большими. Свертка располагается у точки а корреляция —у точки Такое пространственное разделение отфильтрованных изображений и компоненты смещения получается благодаря введению в процессе голографического получения фильтра (рис. 16) сдвига опорного пучка на величину относительно сигнала фильтра

В нашем случае [выражение (20)] искомое отфильтрованное изображение появляется в боковом пучке в форме свертки, а не в форме корреляции получаемой в другом боковом пучке. Если функция фильтра имеет двукратную симметрию вращения (разд. 4 гл. 6 и работу [11]), то требуемая фильтрация получится только в боковом пучке в виде изображения корреляции. Интересно отметить (разд. 4 гл. 6), что имеются другие схемы оптической фильтрации и синтеза, где желаемое изображение в боковом пучке получается в форме корреляции, а не свертки.

Голографически регистрируемый фильтр, т. е. голограмму передаточной функции фильтра можно интерпретировать как голограмму, регш фируемую на пространственной несущей в виде синусоидально!) дифракционной решетки. Действительно, легко убедиться в том голограмма, которая получается при интерференции плоской волны с плоской волной, параллельной плоскости пленки [см. рис. 16, а также выражения

(30) и (31)], является интерферограммой в форме прямых полос с расстоянием между ними

Такую систему полос можно получить путем введения рядом с точечным эталонным источником второго точечного эталона который располагается в начале системы координат

Качественно сдвиги фаз, регистрируемые на голограмме, можно интерпретировать как сдвиги положения несущих полос, соответствующие местным сдвигам фаз в дифракционной картине, которая регистрируется фильтром (т. е. голограммой).

Необходимо подчеркнуть тесную взаимосвязь пространственной фильтрации, с одной стороны, и голографии, с другой стороны, когда эти вопросы излагаются в других разделах, особенно в гл. 6, а также в разд. 9 настоящей главы, где обсуждается проблема синтеза оптических изображений с помощью голографии Фурье.