2.6. Физический смысл спектра мощности

а. Сигнал одной частоты

Рассмотрим этот вопрос, используя аналогию с электрической цепью (рис. 10). Для изображенной цепи

и, следовательно, падение напряжения

Отсюда мощность

В пространстве частот получаем

где дельта-функция определяется через скалярные произведения (разд. 4 гл. 7);

и

Спектральное представление тока согласно выражению (24), показано на рис. 11.

Рис. 10, Эквивалентная схема цепи (к обсуждению спектра мощности).

Рис. 11. Спектральное представление одночастотного сигнала.

Мощность в пространстве частот может быть представлена в следующем виде:

Из графика показанного на рис. 12, можно сделать любопытный вывод: энергия сосредоточена на тех частотах, где нет никакого тока!

Рис. 12. Спектральное представление одночастотного сигнала.

Этот парадокс заставляет подыскать более правильную интерпретацию спектра мощности.

Остановимся теперь на функции автокорреляции квадрата тока. Рассмотрим

Перейдя к пределу, получаем

Следовательно, существует функция автокорреляции:

т. е.

Фурье-образ функции автокорреляции имеет следующий вид:

Функцию называют спектром мощности или энергетическим спектром тока. Легко видеть, что содержит мощность как раз на тех же частотах, что и ток (рис. 13).

Рис. 13. Спектральное представление одночастотного сигнала,

Это позволяет сделать вывод о том, что спектр мощности, равный фурье-образу функции автокорреляции сигнала, имеет физический смысл энергетического спектра сигнала (в данном случае тока).

б. Сигнал многих частот

Пусть сигнал имеет вид

Тогда

а спектр мощности, согласно теории преобразования Фурье (разд. 4 гл. 7), может быть представлен как