3. Функция корреляции

Необходимо подчеркнуть существенное различие между сверткой, с одной стороны, и функцией корреляции — с другой, особенно в связи с тем, что но виду они очень близки.

Если одна из двух функций является сопряженной с некоторой функцией, то в качестве подходящего представления выступает функция корреляции, а не свертка.

3.1. Определение функции корреляции

По определению функция автокорреляции равна

а функция кросс-корреляции определяется выражением

Аналогично имеем

3.2. Преобразование функции корреляции

Рассмотрим произведение

для которого с помощью преобразования Фурье можем записать

а

Мы хотим получить выражение для фурье-образа произведения Сначала заметим [см. (41)], что из выражения (45) следует

Здесь последнее соотношение необходимо записать полностью. Кроме того,

т. е.

Уравнение (50) является, согласно соотношению (43), функцией корреляции Поэтому мы можем записать

Часто бывает выгодно представить функцию корреляции в форме, аналогичной интегралу свертки. Мы определяем операцию корреляции с помощью символа

Наконец, мел можем записать соотношение (51) в виде

Аналогично находим

Мы можем привести также выражение для преобразований, полученных при условиях

когда мы имеем

и

Однако здесь надо соблюдать осторожность, так как знак «плюс» в означает прямое преобразование и соответственно знак «минус» в обратное преобразование. Если это учесть, то можно записать полную систему двух преобразований в следующей форме,

Если заданы

то [выражение (2)]

и сводка правил преобразования для функций корреляции имеет вид

и

Наконец, для системы функций автокорреляции мы имеем следующую сводку правил преобразований. Пусть дано

Кроме того,

Следует указать, что выражение (62) известно как теорема Парсеваля, которая иногда интерпретируется как закон сохранения энергии. Можно также отметить, что

и далее из сравнения соотношений (63) с (61) получаем

Графическая интерпретация операций свертки и корреляции дана на рис. 2. Мы можем, в частности, отметить существенное различие между функциями автокорреляции и свертки для

Рис. 2. Наглядная иллюстрация операций корреляции и свертки.

таких функций (одна из них изображена на рис. 2), которые не обладают симметрией относительно поворота на 180°. То же самое замечание относится, конечно, и к функциям кросс-корреляции! Оно приобретает особую важность в задачах образования изображения при когерентном, а также и некогереитном освещении (разд. 7.1 гл. 5 и разд. 4 гл. 6).