6. Анализ процесса образования изображения в пространстве фурье-координат

Если процесс получения изображения рассматривать в пространстве фурье-координат, или, иначе, в плоскости пространственных частот, то такой подход обнаруживает некоторые существенные преимущества.

Понятие пространства фурье-координат можно ввести по аналогии с радиотехникой, если найти преобразования Фурье обеих сторон равенств (18) — (20), которые выражают процесс образования изображения в плоскости пространственных координат.

Рассмотрим выражение

Напомним, что

Другими словами, и имеет размерность: угол (в радианах), деленный на длину (длину волны) в плоскости изображения. Найдем теперь преобразования Фурье обеих сторон равенства (20). В результате этого равенство (20) будет «перенесено» обратно в плоскость зрачка и будет описывать волновую поверхность с координатами х и у.

Используя выражения

и

в результате нахождения фурье-образов обеих сторон равенства (20) получим

По теореме свертки [уравнение (346) гл. 7] соотношение (21) превращается в уравнение, описывающее процесс образования изображения в пространстве фурье-координат:

Уравнение (22) выражает важную теорему о том, что фурье-образ распределения интенсивности изображения равен произведению фурье-образа распределения интенсивности предмета и фурье-образа функции разброса.

Важность этой теоремы станет еще более очевидной, если функцию разброса выразить через комплексную амплитуду на волновой поверхности с которой связана следующим соотношением:

Из второй теоремы свертки [уравнение (41) гл. 7] вытекает, что

Из этого соотношения следует другой важный вывод о том, что фурье-образ функции разброса выражается сверткой функции зрачка с ее (зеркально повернутой!) комплексносопряженной функцией. Операция (23) очень похожа на встречающуюся до сих пор свертку и известна под названием «складного интеграла». Для действительной симметричной функции зрачка соотношение (23) превращается в соотношение

т. е. осуществляется свертка в том же смысле, в каком она была введена ранее. Теперь мы можем записать уравнение (22) в еще более удобной форме.

Так, фурье-образ процесса образования изображения для очень важного на практике случая действительной симметричной имеет вид

или

По аналогии с теорией цепей и понятием передаточной функции в радиотехнике функцию

можно назвать передаточной функцией системы, формирующей изображение, и обозначить ее через Передаточная функция является комплексной функцией.

В разд. 7 настоящей главы мы покажем, что передаточную функцию можно также рассматривать как функцию частотного отклика оптического прибора. Если оптический прибор формирует изображение синусоидального по интенсивности предмета, то функция частотного отклика дает меру ослабления контраста изображения этого предмета для различных пространственных частот, а также указывает сдвиги синусоидальных (по интенсивности) изображений по отношению к геометрическим изображениям соответствующих синусоидальных предметов. Строго говоря, ослабление контраста определяется модулем а сдвиг изображений — фазой

Наконец, из уравнения (64) гл. 7 вытекает другая, более простая форма записи соотношения (23)

Это соотношение гласит, что передаточная функция равна значению автокорреляции функции зрачка в точке .