3. Теория образования изображения при использовании метода пропускания

На рис. 5 показаны схемы оптических установок, используемых в проекционном методе и методе пропускания. В обоих случаях требуются три электронные линзы, чтобы создать необходимое сильное уменьшение отверстия в первой схеме и большое увеличение предмета во второй. Сразу же можно заметить, что метод пропускания фактически является разновидностью проекционного метода, если рассматривается заднее оптическое пространство, в -плоскости которого расположена фотографическая пластинка. Однако можно показать, что проще рассмотреть вместо него переднее оптическое пространство, которое содержит отверстие и предмет. Это позволяет прийти к простому пониманию процесса восстановления более прямым

путем. Будет также показана существенная идентичность двух методов, что мы заранее подчеркнули выбором одного и того же символа для обозначения расстояния от источника до предмета в первой схеме и расстояния расфокусировки во второй.

Рис. 5. Схемы электроипооптических систем, используемых в двух методах получения голограмм.

Рис. 6. Обозначения, принятые в методе пропускания. Ось является оптической осью, — углы, образованные нормалями плоских воли соответственно с осями В геометрической аппроксимации они становятся лучами.

Соответствующие обозначения поясняются на рис. 6. Плоскость Но является гауссовой сопряженной к плоскости И, т. е. плоскости фотографической пластинки; она расположена от плоскости предмета на малом расстоянии которое будет приниматься положительным при расположении, показанном на рис. 6, т. е. с «перефокусированным» обьективом. Расчет состоит из двух основных этапов. На первом из них мы рассчитываем амплитуды в плоскости которую мы назовем «виртуальной

голограммой». На втором этапе мы принимаем во внимание аберрации оптический системы рассчитываем истинную голограмму. Первую будем обозначать а вторую

Чтобы рассчитать первую голограмму, мы применим принцип Кирхгофа в упрощенной форме, справедливой для малых внеосевых углов:

Здесь амплитуда освещенности в плоскости предмета, -амплитудное пропускание предмета, являющееся в общем случае комплексной величиной; волновое число и расстояние от рассматриваемой точки в плоскости до точки в плоскости предмета. Разложим в ряд

Можно апостериорно проверить, что пригодные для практического применения расстояния расфокусировки достаточно велики, чтобы было оправдано применение формулы Кирхгофа в упрощенной форме (3). Кроме того, третий член в разложении можно опустить. Мы позволим себе также опустить соответствующий член в фазе освещающей волны которая с точностью до постоянного множителя равна

Таким образом, для амплитуды в плоскости виртуальной голограммы мы получим

где использованы подстановки

Эта виртуальная голограмма отображается на фотографическую пластинку оптической системой, которую характеризуют определенные ограничения, накладываемые на пучок лучей, и определенные геометрические аберрации. Как хорошо известно, их можно описать путем задания фазового искажения волны.

которая в переднем оптическом пространстве является сферической и сходится в точке на плоскости Яд.

Для упрощения формулы предположим, что геометрическое увеличение равно единице. Это не приводит к ограничениям, так как в окончательной форме будет удобно отнести все оптические данные снова к пространству предмета. Плоская элементарная волна, являющаяся компонентой искаженной волны в заднем оптическом пространстве (которая соответствует сферической волне в переднем оптическом пространстве сходящейся в точке достигнет точки с приращением фазы

Здесь мы разбили искажение фазы на две компоненты, показанные на рис. 6; расстояние, измеренное в радиальном направлении, между искаженной и упомянутой сферической волнами; последние совпадают друг с другом в направлении радиуса, проведенного параллельно оси. Расстояние является функцией углов и координат точки Вторая компонента, выражает приращение фазы всей волны в целом. Она является функцией только и характеризует искажение волны, которая в переднем оптическом пространстве была плоской и нормальной к оси. Но так как она зависит только от она добавляет к амплитуде лишь фазовый множитель не оказывающий никакого влияния на фотографическую эмульсию, а следовательно, и на весь процесс. Поэтому мы можем с самого начала опустить во всех последующих формулах.

Мы пренебрегаем дисторсией изображения, кривизной поля и астигматизмом третьего порядка, но учитываем астигматизм первого порядка, сферическую аберрацию и кому. Хорошо известно, что очень существенной ошибкой электронных линз является астигматизм на оси, возникающий вследствие эллиптичности или неровности электродов. Ввиду этого было бы неоправданным предполагать, что «сферическая» аберрация обладает осевой симметрией. Для простоты мы предположим только, что ее главные оси совпадают с астигматическими осями, и тогда напишем

В этом выражении расстояние вдоль оси между двумя астигматическими фокусами; коэффициенты имеющие размерность длины, являются константами апертурной погрешности; в случае вращательной симметрии

где постоянная сферической аберрации; В — коэффициент, характеризующий кому.

Роль апертуры в оптической системе может быть представлена множителем пропускания Такое «гауссово» усечение, как было показано в статье I, аналитически очень удобно. Будет также удобно, как и в статье I, заменить угловые переменные фурье-координатами

При этих условиях и обозначениях, применяя снова формулу Кирхгофа в упрощенной форме, можно для амплитуды в плоскости получить следующее выражение:

С помощью формулы Френеля легко проверить, что если нет искажения волны, т. е. и если нет ограничения пучка лучей, то это преобразование восстанавливает т. е. в этом случае

Если подставим теперь сюда выражение для из соотношения (4), то для амплитуды в плоскости голограммы получим следующее выражение в форме шестикратного интеграла:

Это выражение может быть сразу же сведено к четырехкратному интегралу, потому что входят в показатель экспоненты только в первой и второй степенях, и эту часть интеграла можно легко взять с помощью следующей формулы:

Следовательно,

Это простейшая форма, в которой может быть выражено точное решение). Она дает значение амплитуды как в сфокусированном, так и в расфокусированном изображении, получаемом в любом микроскопе (обычном или электронном) с гауссовой апертурой с точностью вплоть до погрешностей третьего порядка в случае стигматического, когерентного освещения предмета, расположенного на расстоянии от источника.

Интерпретация этого выражения проста, если мы рассмотрим все множители последовательно один за другим. Сравнивая с выражением (5), видим, что кома входит сюда преобразованной к плоскости предмета, т. е. вместо в формуле появляются Сферическая аберрация испытала некоторое изменение, которое в случае вращательной симметрии эквивалентно уменьшению С., на Позднее мы увидим, что этим полностью можно пренебречь. Следовательно, обусловленное аберрациями искажение фазы, которое выражается последним множителем в уравнении (7), имеет такой же вид, как в случае, если бы оптическая система была сфокусирована на предмет. Единственный ощутимый эффект дефокусировки проявляется в виде множителя который можно назвать «множителем дефокусировки».

Вместо того чтобы оперировать с амплитудой выгоднее, как и в статье I, иметь дело с «тенью предмета», который, будучи помещен в плоскость голограммы и освещен когерентным фоном дает позади себя амплитуду Эта «тень нредмета» имеет комплексный коэффициент пропускания который отличается от коэффициента пропускания голограммы только в мнимой части. Амплитуду

когерентного фона можно рассчитать по методу стационарной фазы; она равна

где Как установлено, всеми членами, кроме первого, в показателе экспоненты можно полностью пренебречь, и даже первый член мал. На практике освещение в методе пропускания можно рассматривать как освещение плоской волной, но для того чтобы сделать в дальнейшем некоторые заключения, мы сохраним в этом выражении первый член.

Дальнейшее существенное упрощение выражения (7) возможно лишь в том случае, если расстояние дефокусировки велико по сравнению как с расстоянием А между астигматическими фокусами, так и с длиной каустики в фокальной картине сферической аберрации, т. е. если и В этом случае несколько утомительный вывод дает следующую формулу для пропускания тени предмета:

где введена подстановка Переход от выражения (7) к выражению (9) можно выразить простым правилом: замените каждый пучок волновых нормалей, сходящихся в точке единичным лучом от точки до точки Последнее выражение, таким образом, представляет собой геометрическую аппроксимацию решения. Достаточно длинное исследование, которое может быть опущено, показывает, что это приближение на самом деле сохраняет силу почти до той точки, где приближается к вершине каустики. Следующее приближение, в котором луч не просто проведен через точку но определяется из условия постоянства фазы, справедливо в дифракционной микроскопии практически без ограничений всюду, где геометрические погрешности в области каустики сильно перевешивают дифракционное размытие волны. Однако это приближение требует решения кубического уравнения для каждого

луча, и точное решение слишком сложно, чтобы его можно было здесь с успехом обсудить.

Можно отметить, что если геометрические погрешности пренебрежимо малы, то выражение (9) становится идентичным выражению (14) статьи I, которое с точностью до множителя ограничиваюшего пучок лучей, дает «теневой образ» предмета на фотопластинке, удаленной в бесконечность, при освешении этого предмета точечным источником, удаленным от него на расстояние Однако именно ограничение пучка лучей составляет главное отличие проекционного метода от метода пропускания. В проекционном методе точка фотографической пластинки получает излучение от всех точек предмета, если имеются достаточно мелкие детали, в то время как в методе пропускания вклад в образование амплитуды в одной точке голограммы дают, вообше говоря, лишь те точки предмета, которые расположены в пределах круга радиусом гоут- Следовательно, несмотря на формальное сходство, которое мы подчеркнули, использовав в обеих статьях один и тот же символ для представления различных величин, в реальных голограммах между ними имеется весьма сушественное различие.

Обшее обсуждение мы можем начать как с точной формулы (7), так и с приближенной (9). Положим для простоты т. е. пусть для освешения используются параллельные лучи. В этом случае когерентный фон определяемый выражением (8), уменьшается до единицы, а функция дает как теневой образ предмета, так и амплитуды в плоскости голограммы. Величина пропускания фотографии (если предположить, что она правильно обработана), как показано в разд. 1, пропорциональна действительной части следовательно, в рассматриваемом случае, действительной части Но непосредственной проверкой выражения (7) при можно найти, что действительная часть соответствует двум предметам с функциями пропускания которые расположены на расстояниях от плоскости Но, причем знаки аберрационных коэффициентов С, и т. д. для второго предмета должны быть изменены. Это проиллюстрировано на рис. 7, где показано положение каустик сферической аберрации для некоторой точки предмета и ей сопряженной точки. После восстановления один из предметов будет резким (не имеет значения, который из двух именно), а другой будет искажен удвоенными аберрациями. К этому мы еще вернемся позднее.

Быть может, поучительно взглянуть на соотношение между предметом и голограммой с другой точки зрения. Отметим, что координаты плоскости предмета входят в выражение (7), определяющее амплитуду голограмме, только под знаком

интеграла

Для простоты положим снова т. е. рассматриваем освешение параллельным пучком, и заменим новыми переменными

Выражение (10) принимает тогда вид

которое является фурье-образом коэффициента при новых переменных и стандартных обозначениях работы [4].

Рис. 7. Сопряженные предметы в методе пропускания.

Обозначая фурье-образ символом выражение (10) запишем в виде Можно сказать, что учет комы привел к определенным искажениям образа в фурье-пространстве. Подставляя это выражение в выражение (7), где для простоты мы запишем анертурную погрешность в форме, имеюшей осевую симметрию, получим

Мы снова получили интеграл Фурье в стандартной форме [так называемый «левый образ», если выражение (10) назвать «правым образом»]. Обрашая эту формулу, получим фурье-образ амплитуды и, который обозначим

где приращение фазы, обусловленное только астигматизмом и сферической аберрацией; кома входит в множитель Этот результат означает, что фурье-образ амплитуды в плоскости голограммы получается простым умножением искаженного комой фурье-образа предмета. Другими словами, простая периодическая компонента функции пропускания предмета плотностью преобразуется в плоскости в другую простую периодическую компоненту

где связь между переменными дается соотношениями При условии что нет других аберраций, помимо здесь рассмотренных, это выражение остается справедливым в любой плоскости независимо от того, сфокусировано ли в ней изображение или нет. Расфокусировка просто смещает фазы различных компонент в соответствии с множителем для упрощения правой части мы используем то обстоятельство, что практически всегда

Несмотря на формальную простоту, эта интерпретация оптического преобразования с помощью интегралов Фурье имеет, вообще говоря, лишь ограниченную применимость, хотя Дюффье [5] дал много интересных примеров противоположного характера, поскольку интенсивность должна быть рассчитана в каждой точке путем суммирования амплитуд компонент Фурье и вычисления квадрата абсолютных значений суммарной компоненты. Но в дифракционной микроскопии, если удовлетворяются необходимые условия, т. е. если амплитуда равномерного когерентного фона велика по сравнению со всеми другими амплитудами, ситуация другая. Равномерный когерентный фон в соответствии с выражением (12) преобразуется также в равномерное распределение и основной член, определяющий интенсивность, равен просто сумме действительных частей компонент Фурье. Таким образом, нам раскрылся новый аспект дифракционной микроскопии как процесса восстановления амплитуды в плоскости голограммы по действительной части периодических компонент, что уже отмечалось в статье I для особого случая.