Критерии когерентности

До сих пор мы предполагали, что монохроматическая освещающая волна, идущая из точечного источника, абсолютно когерентна, но искажается при прохождении через систему линз. Абсолютная когерентность означает возможность образования интерференционных полос любого порядка, но она означает, конечно, и нулевую интенсивность. На практике мы должны найти компромисс между этими двумя противоречивыми требованиями. Наилучший компромисс достигается в том случае, если степень когерентности как раз достаточна для того, чтобы создать интерференционную картину, по которой предмет может быть восстановлен с требуемым пределом разрешения.

Необходимый критерий когерентности может быть немедленно сформулирован без учета каких-либо деталей голограммы. Вообразим, что абсолютно когерентный освещающий пучок перемещается в течение экспозиции параллельно самому себе, так что представляющая его точка, т. е. значение параксиального фокуса, описывает круг диаметром Но это эквивалентно перемещению предмета в пределах диска того же диаметра, так как для физической тени на бесконечности имеет значение лишь относительное расположение пучка и предмета. По такой «размазанной» голограмме в лучшем случае можно восстановить изображение с пределом разрешения Таким образом, мы получаем необходимое условие, что гауссов, или номинальный,

диаметр освещаюптего диска не должен превышать предела разрешения по Аббе

Мы можем показать, что это необходимое условие является также и достаточным, поскольку при его соблюдении получатся голограммы, практически не отличимые от голограммы, полученной в абсолютно когерентном пучке в пределах пластинки радиусом, соответствующим максимальному углу Выразим в уравнении (44) длину волны с помощью соотношения де-Бройля

где импульс частиц в пучке. Это соотношение столь же справедливо для фотонов, как и для электронов или любых других частиц. Интерпретируя как максимум поперечного импульса частиц в пучке, перепишем соотношение (44) в виде

Сопоставим это выражение с неравенством Гейзенберга

где означает максимум поперечной неопределенности в положении частиц в пучке в гауссовой фокальной плоскости, а максимум неопределенности поперечного импульса. Остановимся сначала на том случае, когда в рассматриваемой плоскости пучок ограничен физической апертурой, т. е. Принцип Гейзенберга утверждает: если частицы, составляющие пучок, определены с точностью до предела (45), то они неразличимы; другими словами, обусловленные ими эффекты, такие, как интерференционные полосы, нельзя отличить один от другого путем наблюдения в пределах телесного угла, соответствующего тому значению которое превращает неравенство в равенство. Сопоставляя неравенства (44.1) и (45), мы видим, то мы должны иметь следовательно, интерференционные полосы внутри конуса заведомо одинаковы для всех частиц пучка.

Но если является не физической апертурой, а ее гауссовым изображением, сформированным оптической системой, этот критерий все же сохраняет силу, потому что в гауссовой оптике является инвариантом. Если бы критерий (44) был недостаточным, то можно было бы преодолеть ограничения, налагаемые принципом Гейзенберга, с помощью подходящей

системы линз, расположенной перед физической апертурой и позволяющей наблюдать различия в системе полос, что делало бы частицы до некоторой степени различимыми.

Эти очень общие рассуждения определены, конечно, лишь с точностью до множителя порядка единицы. Чтобы получить более точные сведения об изменениях, происходящих в голограмме вследствие отклонения от абсолютной когерентности, рассмотрим простой случай освещения через физическую апертуру диаметром и исследуем ее влияние на систему полос, созданных точечным предметом, расположенным на оси на расстоянии от апертуры. Каждая точка освещающей апертуры создает систему полос, концентрических с осью, связывающей эту точку с точкой предмета. Эти системы полос взаимно некогерентны, следовательно, их интенсивности должны суммироваться. На краю голограммы угловое расстояние между двумя полосами равно Если две системы полос смещены друг относительно друга на половину этого расстояния, то они будут полностью дополнять друг друга и интерференционные полосы пропадут. Этот случай соответствует расстоянию между двумя точками источника которое как раз равно пределу Аббе

В согласии с Цернике [5] мы определяем «степень когерентности» как отношение изменения интенсивности от максимума к минимуму в системе полос при предельном значении угла к соответствующей величине в случае равного светового потока, испускаемого точечным источником в центре апертуры. Предполагая, что изменение интенсивности в системе полос происходит по синусоидальному закону, получим

где интегрирование ведется по всей площади освещающей апертуры диаметром Подынтегральная функция выражает то обстоятельство, что две точки, разделенные в направлении X расстоянием находятся в противофазе. Интегрирование дает

где функции Бесселя нулевого и второго порядка. Некоторые значения приведены в таблице.

Данные этой таблицы подтверждают предположение о том, что система полос на краю голограммы будет быстро сглаживаться, если диаметр источника света заметно превосходит предел разрешения Аббе.

(см. скан)

Условие когерентности (47) строго ограничивает доступные сегодня интенсивности. Главным образом в силу этой причины приложения метода восстановленных волновых фронтов будут, вероятно, ограничены световыми волнами длиной, не сильно отличающейся от длин волн видимого диапазона, и электронами. Рентгеновские лучи, протоны и другие частицы должны быть исключены, так как в настоящее время нет соответствующих источников достаточной интенсивности. Даже в случае электронов потребуются длительные экспозиции, пока не будет улучщеиа современная техника.