5. Решение краевой задачи на примере дифракционной решетки [5]

Дифракция света на решетке лучше всего описывается так называемым уравнением решетки

где углы, образованные со средней плоскостью решетки падающим и дифрагированным волновыми фронтами соответственно; а — постоянная решетки.

В учебниках это уравнение обычно весьма просто выводится с помощью принципа Гюйгенса. Однако, применяя гюйгенсовское решение, делают неправильное заключение, что плоская дифрагированная волна получается как огибающая многих маленьких сферических волн.

На практике же просто предполагают, что если на плоскую решетку падает плоская волна, то дифрагированные волны также являются плоскими, образуя дискретную совокупность. Фактически существование плоских дифрагированных волн есть следствие всего лишь периодической структуры решетки.

Доказательство существования дискретной совокупности плоских дифрагированных волн, удовлетворяющих уравнению решетки (1), когда на решетку падает плоская волна, сводится к следующему.

Линованные решетки имеют по существу двумерную структуру. Их поверхность описывается функцией которая не зависит от координаты и является периодической функцией х:

Штрихи решетки направлены вдоль оси Вспомним класс двумерных задач (не зависимых от 2). По своей природе двумерные

задачи являются в сущности скалярными. Однако это не означает, что их можно идентифицировать с неэлектромагнитными задачами, например с акустическими. Двумерную задачу можно сформулировать, используя лишь одну компоненту электромагнитного поля, например или

Рис. 2, Схема, поясняющая уравнение решетки

Кроме того, можно показать, что компоненты или в подобных задачах удовлетворяют волновому уравнению

написанному в качестве примера для компоненты где Множитель опущен.

Частное решение уравнения (3), имеющее вид

представляет собой выражение плоской волны, где 9 — угол дифракции (не ограниченный в данном случае одним значением которое удовлетворяет уравнению решетки). Если 9 не является действительным значением, то выражение (4) представляет собой затухающую волну [5, 6].

Общее решение уравнения (3) состоит из совокупности плоских волн различных направлений и может быть записано в виде интеграла Фурье

где амплитуда плоской волны. Функция в общем виде является комплексной, и чтобы ее найти, требуется решить уже конкретную задачу.

В случае оптической решетки необходимо рассматривать дифракцию поляризованных волн и векторы или в падающей волне выбрать параллельными штрихам, вдоль оси Пусть или компоненты поля впадающей волне для этих двух случаев поляризации. Тогда можно написать

Пусть далее - дифрагированное поле. Поскольку суммарное поле удовлетворяет волновому уравнению и поскольку поле в падающей волне удовлетворяет тому же уравнению, то дифрагированное поле также должно удовлетворять волновому уравнению. В самой общей форме дифрагированное поле можно представить в виде суммы плоских волн различных направлений

Здесь амплитуда плоской дифрагированной волны, соответствующей углу распространения Согласно уравнению (7), существует бесконечная совокупность дифрагированных волн, непрерывно распределенных по углу.

Докажем, что периодическая структура решетки и то обстоятельство, что граничные условия на поверхности решетки относятся к суммарному полю приводят к уравнению решетки которому удовлетворяет только дискретная совокупность волн, взятая из непрерывного углового распределения.

Фактически на поверхности решетки необходимо иметь

Если в уравнение (8) подставить соотношения (6) и (7), то получим

Разделив результат на и вынеся за скобку получим

Для любых заданных любого угла у множитель постоянен. Поэтому, чтобы уравнение (10) удовлетворялось, необходимо положить

т. е.

Заметим, что также целое число вследствие того, что является периодом решетки. Вспоминая, что из соотношения (12) получаем уравнение решетки в окончательном виде

Мы доказали таким образом, что плоская волна

падающая на регулярную поверхность с периодом а, создает дифрагированное поле состоящее из дискретной совокупности плоских волн:

Следует обратить внимание на то, что дифракция света на решетке в основном обусловлена граничными условиями и периодичностью структуры решетки. Удивительно то, что точное выражение граничных условий не входит явным образом в то решение, которое было нами получено при доказательстве существования плоских дифрагированных волн, удовлетворяющих уравнению решетки. Очевидно, однако, что амплитуда

фрагированных волн будет непременно зависеть от вида граничных условий, в частности от свойств материала (диэлектрик, проводник и т. д.) и от профиля штрихов (разд. 4).