1.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ УСЛОВИЯ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ В МКЭ

На практике часто встречаются конструкции, имеющие регулярную конфигурацию (геометрию) в каком-либо направлении (рис. 1.2), нагруженные периодически изменяющейся системой возмущающих факторов (силы, температура, начальные деформации). Вполне очевидно, что для определения НДС таких конструкций нет необходимости рассматривать их полностью, поскольку НДС регулярных участков конструкции одно- и то же. В связи с этим процедура определения НДС регулярной конструкции сводится к выделению из нее регулярного участка и наложения по его границам условия плоских сечений, которое для двумерных задач можно представить в виде или

Выражение (1.48) используется для задач, решаемых в приращениях (см. подразделы 1.1 и 1.2), где и и А и — перемещение и приращение перемещения в направлении оси параметры линейного уравнения.

Кроме того, при решении краевой задачи должны выполняться условия равновесия на торцах регулярного участка:

Здесь соответственно обобщенная сила и момент, приложенные по плоскому сечению. В остальном граничные и начальные условия для регулярного участка совпадают с соответствующими условиями, задаваемыми во всей конструкции в целом.

Поставленная указанным образом задача может решаться одним из методов механики деформируемого твердого тела.

Рис. 1.2. Пример конструкций с регулярной конфигурацией

При использовании МКЭ для решения упругопластических задач в общем случае условие плоских сечений (1.48) можно обеспечить только с помощью итерационной процедуры. Обоснуем данное высказывание. Пусть решение какой-либо упруго-пластической задачи МКЭ сводится к решению системы уравнений, которую можно представить в соответствии с уравнением (1.34) в виде

где вектор сил от начальных деформаций; приращения перемещений узла по осям х и у соответственно; соответствующие узловые силы.

При этом условие плоских сечений заключается в выполнении условия (1.48) для некоторых узлов: Тогда в (1.48) можно определить по зависимостям:

Очевидно, что знание дает возможность определить из (1.48), (1.52), (1.53) все остальные узловые перемещения, для которых выполняется условие плоского сечения. Следовательно, общее количество неизвестных перемещений в (1.51) уменьшается до Кроме неизвестных перемещений неизвестными являются узловых сил:

Таким образом, общее число неизвестных в (1-51) равно Для замкнутого решения краевой задачи необходимо к системе уравнений. (1.51) добавить два дополнительных уравнения равновесия сил и момента (1.49), (1.50) по плоскому сечению. Поскольку в уравнениях (1.49), (1.50) , то решить совместно в общем случае можно только итерационным методом.

В настоящей работе предлагается способ, позволяющий решать описанные выше задачи без итерационной процедуры [132]. Способ отталкивается от известного факта, что искривление плоских сечений в балке (или другой конструкции) обусловлено наличием сдвиговых деформаций [195, 229]. Чтобы получить плоское сечение, необходимо исключить деформацию сдвига. Для этого нами предлагается при аппроксимации регулярного участка конструкции на его торце (см. рис. 1.2, сечение 1-2) ввести специальный тонкий слой КЭ, обладающих большим сопротивлением сдвигу следовательно, исключающих такого рода деформацию. Сделанное предположение сводится к модификации матрицы связывающей векторы напряжений и приращений деформаций (см. позраздел 1.1) посредством умножения на большое число ее элемента Например, для плоской деформации в уравнении (1.17), связывающем модифицированная матрица будет идентична матрице за исключением члена

В случае, если сечение 1—2 (рис. 1.2), где наложено условие (1.48), находится под углом к глобальной системе координат, в которой производится аппроксимация тела на КЭ, то необходимо провести следующие преобразования. Запишем уравнения, связывающие векторы приращений деформаций и напряжений в местной и глобальной системах координат [103]:

Тогда уравнение, связывающее векторы напряжений и приращений деформаций в глобальной системе координат, с учетом модифицированной матрицы обеспечивающей последовательно, выполнение условия где — приращение перемещения в направлении х, можно представить в виде

Из сравнения (1.17) и (1.56) следует, что при формировании глобальной матрицы жесткости и вектора сил, обусловленного начальными деформациями, в системе координат матрица специального слоя должна рассчитываться по формулам:

В остальном процедура формирования разрешающего конечно-элементного уравнения остается неизменной.

С целью проверки эффективности предложенного метода и выбора численного значения параметра проведен расчет (при наличии специального слоя и без него) НДС пластин с симметричным и несимметричным распределением начальных, деформаций (рис. 1.3). Вдоль оси х распределение начальных, деформаций в обоих случаях было однородно. Как видна из рис. 1.3, а в случае отсутствия специального слоя на торцах пластин распределение перемещений соответствует распределению и не является линейным; напряжения При введении специального слоя А

(рис. 1.3,б) - практически линейно; распределение напряжений (рассматриваемые результаты были получены при

Таким образом, специальный тонкий слой обеспечивает условие плоских сечений с достаточной для практического использования точностью.

Рис. 1.3. (см. скан) Распределение начальных деформаций перемещений и напряжений в пластинах без специального слоя КЭ (а) и со слоем обеспечивающим условие плоского сечения (1.48)