4.1.4. МОДЕЛЬ РАЗВИТИЯ УСТАЛОСТНОЙ ТРЕЩИНЫ

Большинство моделей развития усталостных трещин [11, 12,. 141, 336, 349, 351, 430] основываются на рассмотрении элементарных актов разрушения в бесконечно малых объемах материала (математических точках). При этом процесс развития разрушения представляется как непрерывный ряд последовательного разрушения точек, образующих траекторию трещины. Как указывалось в гл. 2, подобное моделирование процесса усталостного разрушения не позволяет объяснить имеющиеся: экспериментальные результаты.,

Разработанная модель [66—69, 71, 72—74, 83, 85, 125, 126] устраняет имеющиеся несоответствия между расчетными результатами и экспериментальными данными. Базой модели является анализ НДС и повреждений материала с учетом блочности: строения поликристаллических материалов. Под блоком понимается структурный элемент материала, в котором механические характеристики однородны, что в большинстве случаев соответствует понятию зерна в поликристаллических материалах..

4.1.4.1. АНАЛИЗ НДС МАТЕРИАЛА У ВЕРШИНЫ ТРЕЩИНЫ

С целью исследования основных закономерностей деформирования материала у вершины трещины при циклическом нагружении были решены МДЭ упругопластические задачи с использованием теории пластического течения в сочетании с моделью трансляционного упрочнения [72, 83]. Объектом численного исследования служила пластина высотой 60, длиной с трещиной длиной и притуплением Минимальный размер КЭ составлял что примерно соответствует размеру зерна конструкционных сталей. Нагружение осуществлялось по двум схемам, представленным на рис. 4.2, а. В первой схеме моделировалось деформирование материала у вершины трещины только по I моде нагружения во второй — по I и II модам одновременно

Свойства материала варьировались и принимались следующими: модуль упрочнения

В результате выполненных расчетов установлены следующие закономерности кинетики и распределения напряжений у вершины трещины.

Рис. 4.2. Схема нагружения и геометрические размеры пластины (а) и фрагмент аппроксимации КЭ области у вершины трещины размер пластической зоны): 1 — контур упругопластической зоны

1. При нагружении на линии продолжения трещины в пластической зоне отношение напряжений, параллельных трещине, к напряжениям, ориентированным перпендикулярно к ней, практически постоянно и не зависит от предела текучести, модуля упрочнения (в варьируемом диапазоне), степени нагружения материала у вершины трещины (рис. 4.3), а также от параметра нагружения На рис. 4.3 штриховыми линиями отмечена некорректная где начальное притупление трещины оказывает влияние на НДС (представлен случай, когда Вне этой области НДС отвечает нагружению бесконечно острой трещины с притуплением, равным нулю. Полученные результаты в части влияния притупления на НДС достаточно хорошо соответствуют решению по теории линий скольжения, где жесткость напряженного состояния, а следовательно, и параметр перестает изменяться, начиная с радиус притупления трещины) [124].

2. При нагружении на линии продолжения трещины отношение касательных напряжений к интенсивности напряжений

постоянно в упругопластической зоне, не зависит от предела текучести, модуля упрочнения и степени нагружения материала, а является функцией лишь параметра нагружения

Рис. 4.3. Распределение параметра в пластической зоне размером по линии продолжения трещины при различном нагружении:

3. Деформирование материала на стадии разгрузки можно приближенно описать единой кривой в системе координат, связанной с началом разгрузки,

где интенсивность напряжений соответственно векторы напряжений, отвечающие началу разгрузки, и напряжений в процессе разгрузки;

Рис. 4.4. Зависимость от параметра нагружения X: 1 и 2 — результаты расчета МКЭ со ответственно при -аппроксимация расчетных данных по уравнению (4.20)

интенсивность пластических деформаций, отсчитываемых относительно значений деформаций, соответствующих моменту начала разгрузки; безразмерный коэффициент, значение параметра при условии эффективный предел текучести в системе координат, связанной с началом разгрузки (в случае одноосного нагружения для схемы трансляционного упрочнения пластический модуль упрочнения.

4. При циклическом нагружении в системе координат, связанной с началом полуцикла, в каждой точке у вершины трещины с погрешностью, не превышающей выполняется

условие: где — интенсивность размаха пластической деформации в полуцикле; моменты времени, соответствующие началу и концу полуцикла. Учитывая, что указанное условие выполняется при простом нагружении [94, 124], можно считать, что в системе координат, связанной с началом разгрузки (полуцикла), осуществляется нагружение, близкое к простому. В этом случае появляется возможность использования деформационной теории пластичности, рассматривая деформирование каждый раз в системе координат, связанной с началом разгрузки [124, 155].

Приближенное аналитическое решение задачи вершины трещины при циклическом нагружении базируется на следующих основных положениях, большинство из которых установлены при исследовании деформирования материала у вершины трещины МКЭ.

1. Предполагается, что в процессе деформирования раскрытие трещины 6 мало и не оказывает влияния на НДС.

2. Решение задачи вершины трещины при циклическом нагружении может быть разделено на два этапа: на первом этапе рассматривается нагружение от минимальной нагрузки в цикле до максимальной, или в терминах КИН от На втором нагружение На каждом из этапов осуществляется нагружение, близкое к простому, и, рассматривая процесс в системе координат, связанной с началом каждого полуцикла, можно использовать деформационную теорию пластичности [124].

3. При анализе деформирования в нулевом полуцикле используется диаграмма деформирования с линейным упрочнением; при разгрузке (обратном нагружении) деформирование описывается зависимостью (4.18).

4. Циклическое деформирование материала описывается кинематической моделью, основанной на схеме трансляционного упрочнения.

5. Значения интенсивностей напряжений и деформаций в рамках деформационной теории пластичности определяются в соответствии с зависимостью, использованной в работе [311],

где и интенсивности напряжений и деформаций у вершины трещины при решении задачи в упругопластической постановке; и соответствующие значения при решении задачи в упругой постановке.

6. Для структурных элементов, расположенных на линии продолжения трещины, принимается следующее:

величина постоянная в упругопластической зоне, не зависит от степени нагружения материала, модуля упрочнения, а также от параметра а; с достаточной степенью точности значение можно принять равным 0,65;

отношение постоянно в упругопластической зоне, не зависит от степени нагружения материала и модуля упрочнения; зависимость же от параметра (рис. 4.4) приближенно можно описать соотношением

7. Анализ НДС осуществляется для случая плоской деформации

Рассмотрим НДС, возникающее в районе вершины трещины в нулевом полуцикле при нагружении до некоторых значений На основании известного решения Ирвина о распределении напряжений у вершины трещины определим НДС в структурном элементе следующим образом:

Здесь соответственно тензор напряжений, интенсивность напряжений и интенсивность деформаций в структурном элементе при решении задачи в упругой постановке; размер структурного элемента.

Использовав диаграмму деформирования с линейным упрочнением и подставив в уравнение (4.19) зависимости (4.22) и (4.23), получим:

Здесь

Параметры напряженного состояния в упругопластической постановке определяются на основании принятых значений условия текучести Мизеса и деформационной теории пластичности:

Деформации у вершины трещины определяются с помощью известных зависимостей деформационной теории пластичности, а также закона Гука [124]:

Здесь компонента шарового тензора напряжений.

Соотношения (4.26) и (4.27) полностью характеризуют НДС, возникающее у вершины трещины при нагружении до заданных значений

Анализ НДС при нагружении и осуществляется в системе координат, связанной с началом разгрузки. При этом деформирование описывается зависимостью (4.18), одним из параметров которой является эффективный предел текучести равный тому значению интенсивности приращений напряжений при котором возобновится пластическое деформирование при обратном нагружении. В работе [72] отмечается, что соотношение компонент напряжений в момент начала разгрузки отличается от соотношения компонент приращения напряжений, приводящих к возобновлению пластического деформирования, поэтому значение эффективного предела текучести при разгрузке отличается от соответствующего параметра при одноосном нагружении, равного

Для определения значений компонент приращения напряжений при которых возобновится пластическое

деформирование при разгрузке, воспользуемся условием текучести, справедливым в рамках модели трансляционного упрочнения [124],

а также теоремой о разгрузке, на основании которой можно считать, что соотношение компонент соответствует упругому решению:

Здесь

Компоненты девиатора напряжений в выражении (4.29) отвечают моменту начала пластического деформирования при разгрузке и определяются с помощью зависимостей

Величины представляют собой компоненты девиатора активных напряжений на момент начала разгрузки, т. е. в конце нулевого полуцикла, и вычисляются через компоненты тензоров напряжений и деформаций [см. (4.26), (4.27)]

где

Подставив (4.31) в с учетом того, что получим

Для определения эффективного предела текучести воспользуемся зависимостью

Выражения (4.30) и (4.33) позволяют преобразовать формулу (4.34) к виду

Из зависимости (4.35) следует, что эффективный предел текучести при разгрузке определяется напряженным состоянием, возникшим в момент достижения максимальной нагрузки в нулевом полуцикле, а следовательно, параметром а и коэффициентом асимметрии цикла

Значение величины в каждом структурном элементе позволяет однозначно определить диаграмму деформирования в системе координат, связанной с началом разгрузки.

Представим соотношение (4.18) в виде

Использовав уравнение (4.19) для анализа деформирования при разгрузке в системе координат получим

где

Зависимости (4.36) и (4.37) позволяют определить значения и структурном элементе.

В соответствии с принятым предположением о циклической стабильности материала НДС в конце второго полуцикла нагружения соответствует НДС в конце нулевого. Это обстоятельство позволяет считать величины и ее. параметрами, характеризующими упругое и пластическое деформирование материала за цикл, т. е. принять и где и интенсивность размаха пластической и упругой деформации соответственно.

Анализ зависимостей (4.35), (4.36), (4.37) показывает, что размахи пластической и упругой деформации в цикле, характеризующие повреждаемость материала, зависят не только от размаха нагрузки, но и от максимального ее значения, а также от соотношения КИН I и II рода.

Данные о НДС при полученные были сопоставлены с результатами расчетов по разработанному выше методу (рис. 4.5 и 4.6). На рис. 4.5 представлено распределение напряжений и деформации по линии продолжения трещины на этапе нагружения в нулевом полуцикле. Сопоставлены

результаты расчета различными методами лишь в той области у вершины трещины, где влиянием ее начального притупления, обусловленного аппроксимацией КЭ, можно пренебречь. Из рис. 4.5 видно весьма удовлетворительное соответствие результатов расчетов по указанным методам.

Рис. 4.5. Распределения напряжений и деформаций по линин продолжения трещины, полученные на основаннн предлагаемого метода и МКЭ в нулевом полуцикле: расчетные величины, отнесенные к центрам тяжести структурных элементов

На рис. 4.6 приводится сопоставление значений деформации за полуцикл, рассчитанных МКЭ и на основании разработанного метода. Видно, что для точек, где НДС соответствует острым трещинам, как при прямом нагружении

Рис. 4.6. Сопоставление пластической деформации в нулевом (а) и первом (б) полуциклах, рассчитанной МКЭ и на основании предлагаемого метода — относительное расстояние от вершины трещины)

(рис. 4.6, а)], так И при обратном сравниваемые значения достаточно близки. В области, где оказывает влияние притупление трещины значения деформаций, вычисленные по предлагаемому методу, несколько завышены. Погрешность в определении деформаций для этого случая достигает примерно Тем не менее следует учесть, что анализ МКЭ проводился в геометрически линейной постановке с исходным притуплением Поэтому реальная погрешность может быть значительно ниже, так как исходное притупление трещины равно нулю и в процессе нагружения и разгрузки оно изменяется. В тех структурных элементах, где отсутствует влияние притупления трещины данные. по НДС, рассчитанные по предлагаемому методу и по МКЭ, согласуются вполне удовлетворительно.