1.1.6. ФОРМУЛИРОВКА ЛИНЕАРИЗОВАННОМ ЗАДАЧИ МКЭ
Как следует из вышеизложенного, задача вязкопластичности линеаризована по функции состояния 
и геометрии тела на каждом шаге прослеживания за историей нагружения и на каждой итерации.
Согласно принципу Лагранжа, из всех возможных приращений перемещений 
уравнению
где 
- вектор возможных приращений деформаций, обусловленный возможными приращениями перемещений 
-вектор узловых сил; V — объем тела; 
транспонированные векторы соответственно 
удовлетворит только такое поле приращений перемещений, при котором соблюдаются условия равновесия при статике. Исходя из этого, можно записать для конечного элемента (КЭ), имеющего постоянные значения 
по объему элемента, уравнение
объем 
вектор узловых сил 
обусловленный соответственно объемными, поверхностными и сосредоточенными силами, 
Выражения для 
запишем следующим образом [55]:
где 
матрица формы 
векторы внешних распределенных объемных и поверхностных нагрузок, действующих в 
Связь деформаций с перемещениями описывается уравнением
где 
матрица, связывающая деформации 
и узловые перемещения 
[55]. Поскольку матрица 
зависит только от координат узлов КЭ, уравнение (1.28) можно лредставить в виде
Тогда, используя уравнения (1.17) и (1.29), приведем уравнение (1.27) к виду
где 
транспонированная матрица 
Введя обозначения:
запишем уравнение (1.30) в следующем виде:
где 
матрица жесткости 1-го 
вектор узловых сил 
обусловленных деформациями 
Отметим, что при плоской деформации 
и при плоском напряженном состоянии 
Следовательно, произведение 
(Аегг) в том и другом случаях не вносит вклада в работу внутренних сил 
При аппроксимации области 
-конечными элементами уравнение равновесия по структуре эквивалентно уравнению (1.33) [37, 55]
где 
глобальная матрица жесткости всего ансамбля 
вектор узловых сил, обусловленный деформациями 
во всех КЭ, аппроксимирующих область, 
вектор узловых сил, 
Итак, решение задачи на шаге нагружения сводится к решению системы линейных уравнений с последующей корректировкой матрицы 
и вектора 
(вектор 
корректируется в случае решения задачи с анизотропным упрочнением) на каждой итерации до тех пор, пока не будут удовлетворены условия текучести.
