1.2. МЕТОД РАСЧЕТА НДС ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ В СЛУЧАЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛА

При динамическом нагружении во многих случаях кривые упругопластического деформирования ватериала оказываются чувствительными к скорости деформирования. Поэтому в общем случае деформирование материала целесообразно описывать реологическими зависимостями (1.4) и (1.6), приняв в так как релаксационные процессы не успевают реализоваться при малой длительности нагружения.

В случае динамического поведения конструкции перемещения тела во времени обусловлены наличием двух дополнительных систем сил. Первую из них составляют силы инерции, которые согласно принципу Даламбера могут быть заменены их статическим эквивалентом Вторая система сил обусловлена сопротивлением движению (силы трения). В общем случае они связаны со скоростью перемещения нелинейной зависимостью. Для простоты будет учтено только линейное сопротивление, которое эквивалентно статической силе Эквивалентная статическая задача в каждый момент времени дискретизируется теперь по стандартной процедуре МКЭ [соотношение (1.34)], причем вектор распределенных объемных сил в выражении для заменяется эквивалентом: [55]. В результате разрешающая система конечно-элементных уравнений в динамической постановке выглядит так:

где матрицы называемые матрицами масс и демпфирования соответственно, составляются по обычному правилу из подматриц элементов вида [55]:

Здесь плотность материала элемента; некоторый коэффициент.

Следует отметить, что матрицу масс можно построить двояко: масса элемента может быть сосредоточена в узлах, что приводит всегда к диагональной матрице, либо может быть распределена по элементу — в этом случае она имеет структуру, аналогичную матрице жесткости элемента, и называется согласованной матрицей масс. В работе [55] отмечается, что использование сосредоточенной матрицы масс приводит к плохой аппроксимации и неточным результатам; в работах [177, 178] показано, что отличие в результатах при использовании согласованной или сосредоточенной матрицы масс незначительно, а использование диагональной сосредоточенной матрицы масс приводит к резкому сокращению времени счета. Аналогично используют два вида матрицы демпфирования.

Интегрирование системы конечно-элементных уравнений (1.35) можно осуществить различными способами наибольшее применение среди которых получили методы центральных разностей, Вилсона, Галеркина, Ньюмарка. Нельзя формально подходить к использованию того или иного метода, так как каждый из них имеет свои сильные и слабые стороны, которыми и определяется область их рационального применения. Так, применение центральных разностей имеет несомненное преимущество при использовании сосредоточенной (диагональной) матрицы масс, однако устойчивость его зависит от выбора шага интегрирования во времени Выбирая безусловно устойчивые и более точные двухпараметрические методы: интегрирования Ньюмарка и Галеркина, мы значительно увеличиваем время счета. Оптимально и достаточно просто реализуемое интегрирование уравнения (1.35) можно провести с помощью модифицированной одношаговой процедуры Вилсона по двум схемам, отличающимся числом членов разложения в ряд. Тейлора функций в момент времени; [7].

Схема 1:

Решив совместно (1.36), (1.37) и (1.37), (1.38), получим:

Подставив эти выражения в (1.35), получим

откуда

Схема II:

Решив совместно (1.42), (1.43) и (1.44), получим:

Подставив (1.45) и (1.46) в выражение (1.35), перепишем лоследнее в виде [102]

откуда

Полученные рекуррентные соотношения (1.41) и (1.47) позволяют вычислять значение вектора узловых скоростей перемещений в момент времени через значения векторов узловых скоростей, ускорений и начальных деформаций в момент времени и вектора внешней нагрузки в момент времени Необходимо отметить, что матрица жесткости в этих уравнениях отвечает условию текучести на момент времени

Для вычисления значений на первом шаге в момент времени по рекуррентным формулам (1.41) и (1.47)

необходимо задать начальные условия по скорости значения: векторов внешних сил и начальных деформаций а для схемы I также и значение вектора ускорений в начальный момент времени Для определения последнего предлагается следующая процедура: осуществляется решение задачи по описанной выше схеме, но с шагом интегрирования шаг интегрирования в основном варианте расчета) и Полученное в результате этой процедуры значение принимается в качестве начального значения в основной задаче

Алгоритм решения динамической упругопластической задачи аналогичен алгоритму решения вязкопластической задачи в квазистатической постановке за исключением двух моментов: параллельно с формированием матрицы жесткости формируются матрицы масс и демпфирования и вместо решения системы конечно-элементного уравнения (1.34) решается уравнение (1.41) или (1.47).