4.3.1.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРТ

Расчет СРТ при динамическом нагружении является достаточно сложной задачей. Для идеализированных постановок в случаях бесконечных и полубесконечных тел рядом авторов [148, 177, 178, 219, 435], которые использовали баланс энергии в различных видах, получены аналитические выражения для СРТ. Для конструкций конечных размеров применимость этих выражений ограничена временем прихода в вершину трещины отраженных волн, В последнее время для конструкций Со сложной геометрией получил распространение смешанный численноэкспериментальный метод [383], в котором СРТ предлагается определять, решая нелинейное. уравнение вида

где V — скорость распространения трещины; кривая динамической вязкости разрушения, полученная экспериментально. Использование данного метода ограничено тем, что при наличии трещины смешанного типа возникает неоднозначность в определении СРТ. Кроме того, как уже. упоминалось выше, для определения КИН требуется мелкая сетка у вершины трещины или введение специальных КЭ.

В настоящей работе СРТ определяется на основе энергетического критерия для движущейся трещины [199]

где сумма всех необратимых составляющих энергий (свободная поверхностная энергия, энергия, идущая на пластическое деформирование, и т. д.); выражения для энергии обратимой (упругой) деформации кинетической энергии и работы внешних сил А, записываются в следующем виде:

Здесь временной интервал действия суммарных (поверхностных, объемных, узловых) сил, приведенных к узлам; -вектор узловых перемещений всей конструкции; и -векторы напряжений, деформаций, начальных деформаций и узловых скоростей матрица масс количество КЭ.

Перепишем выражение (4.73) в виде

где длина трещины. Поскольку для движущейся трещины то энергетический критерий записывается в следующем виде: Учитывая, что скорость высвобождения упругой энергии в динамическом случае равна а эффективная поверхностная энергия разрушения энергетический критерий движущейся трещины принимает вид

Следует отметить, что в момент страгивания трещины возможно значительное пластическое деформирование конструкции, при котором диссипация энергии может оказать существенное влияние на кинетику трещины. При развитии трещины в подавляющем большинстве случаев пластическая деформация локализована у вершины движущейся трещины. Формулировка энергетического баланса в виде уравнения (4.75) дает возможность проводить анализ развития трещины в упругой постановке, поскольку диссипация энергии у вершины движущейся трещины включена в Таким образом; необходимо решать упругопластическую задачу до момента старта трещины, а при анализе ее развития можно использовать решение упругой задачи. Такое моделирование кинетики можно осуществить путем завышения предела текучести материала после старта трещины.

Скорость высвобождения упругой энергии при образовании новой поверхности трещины длиной можно представить как работу «сил сцепления» по «берегам» трещины за время (время прохождения вершиной трещины расстояния со скоростью величина которой для дискретной модели зависит от характера изменения этих сил во времени. При использовании конечно-элементных моделей акт продвижения трещины (проскок) можно осуществить следующим образом. Силы сцепления берегов трещины, пропорциональные жесткости элементов полости трещины, характеризующейся модулем упругости трещины уменьшаются до нуля за время по следующему закону:

Использование данного способа моделирования продвижения трещины наиболее адекватно описывает процесс непрерывного ее развития в сплошной среде. В самом деле, снижение за время с точки зрения анализа скорости высвобождения упругой энергии можно интерпретировать как процесс последовательного продвижения вершины трещины на величины тем самым как бы уменьшается эффективный шаг продвижения трещины. При этом скорость высвобождения упругой энергии за время при продвижении вершины трещины на величину определяется выражением

где скорость высвобождения упругой энергии за время для которой выражение в конечных приращениях имеет вид

где и приращения энергии деформации и кинетической энергии, определяемые формулами (4.74); — вектор сил в средней точке интервала обусловленный объемными, поверхностными и сосредоточенными силами; вектор приращений перемещений узлов всего тела за время

Возможна и другая интерпретация способа: использование зависимости (4.76) приводит к плавному снижению сил сцепления до нуля за время следовательно, к практическому отсутствию нехарактерных высокочастотных колебаний, что соответствует развитию трещины в континуальной среде.

Следует отметить, что данный способ моделирования продвижения трещины, основанный на формуле (4.76), имеет ряд особенностей. Так, в случае, когда (наиболее экономичный вариант с точки зрения времени расчета) силы сцепления уменьшаются до за время При этом положение вершины трещины изменяется скачком на величину а однозначно связана с шагом интегрирования Последнее обстоятельство накладывает существенное ограничение на выбор схемы интегрирования конечно-элементных уравнений движения: приходится использовать безусловно устойчивые, но менее точные схемы интегрирования [см., например, уравнение (1.47)]. Применение более точной схемы [см. уравнение (1.41)]

невозможно, поскольку ограничение на шаг интегрирования обусловлено устойчивостью схемы) и скорость распространения поверхностных волн Рэлея), взаимно исключают друг друга

Уравнение (4.75) является нелинейным, так как в общем случае его левая и правая части являются функциями СРТ. Раскрытие нелинейности выражения (4.75), т. е. определение СРТ, при которой удовлетворяется энергетический баланс, предлагается осуществлять с помощью итерационной процедуры, основанной на приближенной аналитической зависимости [253]

Запишем это выражение для двух близких значений СРТ в виде Учитывая, что это выражение справедливо и для истинной СРТ, при которой справедливо выражение (4.75), можно залисать рекуррентную формулу для в следующем виде:

где

Следует отметить, что формула (4.79) справедлива для случаев бесконечного тела, характеризующегося отсутствием отраженных волн. Для реальных конструкций, имеющих ограниченные размеры, зависимость (4.79) может быть иной. Приняв ее в виде и проведя аналогичные рассуждения, получим рекуррентное соотношение (4.80), но вместо будет Варьируя показатель степени можно управлять сходимостью итерационного процесса.

Итерационный процесс заканчивается, когда погрешность расчета), т. е. определена при которой энергетический баланс удовлетворен с заданной точностью. Первое приближение скорости и в формуле (4.80) на этапе по времени будем определять следующим образом: при скорости трещины на этапе выражение для определяется по формуле Мотта [199] в остальных случаях путем линейной экстраполяции значений СРТ с двух предыдущих этапов интервал времени между этапами).

Следует отметить, что скорость высвобождения упругой энергии определяется по формуле (4.77), т. е. процесс определения СРТ является итерационным по скорости и включает несколько шагов на каждой итерации. Таким образом, процедура определения СРТ заключается в следующем: определив

по формуле (4.80) очередное приближение определяем величину из условия выполнения равенства

Далее последовательно решается динамическая задача с учетом уменьшения модуля упругости элементов у вершины трещины по формуле (4.76), определяются параметры НДС конструкции и скорость высвобождения упругой энергии по формуле (4.77), где выражением для является уравнение (4.78).

Проверяется условие завершения итерационного процесса: при его невыполнении процесс продолжается, в противном случае осуществляется продвижение вершины трещины на величину и описанная выше процедура определения СРТ повторяется.