4.1.2.2. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КИН

Понятие коэффициента интенсивности напряжений, как известно, предложено Дж. Ирвином для характеристики напряженности материала у вершины трещины [60, 343]. В общем случае трещины могут находиться под воздействием нормального отрыва, продольного и поперечного смещений поверхностей. В этом случае напряженное состояние у вершины трешины описывается зависимостью

где и полярные координаты, связанные с вершиной трещины; тригонометрические функции.

Определение КИН на основе аналитических решений ограничено случаями тел с простой геометрической формой, находящихся под воздействием однородного поля напряжений [16, 253]. Для реальных конструкций, содержащих трещины, получение аналитических решений связано со значительными математическими трудностями. Поэтому для расчета КИН становится необходимым использование численных методов. В настоящее время одним из самых общих методов, обладающих наименьшими ограничениями, является МКЭ [34, 55, 154, 205, 217]. Поэтому в основном все численные методы определения КИН основываются на МКЭ.

Основные методы вычисления КИН можно разделить на следующие: прямой метод, метод линейного интегрирования и метод податливости. Прямой метод вычисления КИН наиболее очевиден и основывается на том факте, что распределение напряжений или перемещений вблизи вершины трещины описывается, зависимостями, однозначно связанными с КИН. Зная распределение напряжений или перемещений вблизи вершины трещины, можно определить величину КИН.. Как показывают расчеты, для вычисления КИН этим методом нужна очень мелкая сетка КЭ, что приводит к большим потребностям в оперативной памяти и времени счета на ЭВМ [270, 294, 299, 432]. К прямым: методам можно отнести также методы, в которых используется специальный элемент, учитывающий вид особенности напряжений в вершине трещины [291]. В этом случае количество КЭ, необходимое для определения КИН, значительно сокращается;

Метод линейного интегрирования основан на численном вычислении -интеграла, который связан с КИН известными соотношениями [200].

Метод податливости [270, 432] или энергетический метод основан на вычислении потенциальной энергии тела при двух длинах трещины и определения КИН по уравнению

где изменение потенциальной энергии тела при изменении длины трещины от до

Как показано в работе [176], по сравнению с описанными выше методами вычисления КИН этот метод обладает рядом преимуществ. Он прост по своей вычислительной структуре, не требует введения мелких элементов и местного сгущения сетки, позволяет легко вести вычисления для широкого диапазона длин трещин и обеспечивает намного лучшую точность.

Заслуживает также внимания метод определения КИН при известном напряженном состоянии тела без трещины. К поверхностям трещины прикладываются фиктивные усилия, в одном случае раскрывающие трещину, а в другом — сжимающие ее. Распределение этих усилий предполагается таким же, как оно было до появления трещины. Тогда напряженное состояние для тела с трещиной будет определяться суперпозицией поля напряжений от действия внешних сил и сил, сжимающих трещину, (первая задача), а также поля напряжений от сил, раскрывающих ее (вторая задача). Так как поле напряжений в теле без трещины эквивалентно полю в случае решения первой задачи и не имеет особенностей, КИН для него равен нулю.

Следовательно, решение второй задачи — для тела с трещиной, по берегам которой приложены напряжения — обеспечивает решение основной задачи — определения КИН в теле с трещиной, нагруженной внешними усилиями. Этот прием рассмотрен Л. И. Седовым в работе [218], им же дано решение вспомогательной (второй) задачи, где КИН определяется по следующей зависимости:

где от распределение нормальных напряжений вдоль поверхности трещины, найденное для тела без трещины под действием заданных усилий или других возмущающих факторов (например, температуры, начальной деформации); половина длины трещины; координата, отсчитываемая вдоль трещины от ее середины.

Применяя формулу (4.9), следует учитывать, что она получена для прямолинейной трещины в бесконечном теле; предполагается, что берега трещины не контактируют друг с другом. Следовательно, расчет по ней может проводиться только для небольшой относительно размера тела трещины (когда размеры тела можно считать бесконечными), у которой в процессе нагружения отсутствует контактирование берегов.

В последнее время для расчета КИН часто применяется метод весовых функций, т. е. функций Грина. В широком смысле функции Грина — это оператор, который по решению задачи, соответствующему одним граничным условиям, позволяет строить решение при других граничных условиях. В узком смысле в качестве функций Грина часто используются функции точечного источника. Основные направления метода весовых функций намечены в работах X. Ф. Бюкнера [290] и Дж. Райса [398]. Указанный метод позволяет рассчитать КИН в двумерных и трехмерных телах со сквозными, эллиптическими и полуэллиптическими трещинами [17—19, 210, 411], но его применение затруднено в случае криволинейных трещин, а также при нагружении элемента конструкции, отвечающем смешанным — кинематическим и силовым — граничным условиям.