ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее пособие является непосредственным продолжением книги Н. Я. Виленкина и Е. С. Куницкой «Математический анализ. Введение в анализ». Оно содержит изложение курса дифференциального исчисления и его приложений к исследованию функций.

Значение этого материала для будущего учителя определяется в первую очередь тем, что соответствующие вопросы по новой программе изучаются в средней школе. Одна из задач пособия — выяснение основных понятий дифференциального исчисления, необходимых для школьного преподавания, строгое доказательство утверждений, которые в школе лишь поясняются. В связи с этим большое внимание в пособии уделяется естественнонаучным и геометрическим истокам вводимых понятий; вопросы техники дифференцирования играют подчиненную роль.

В отличие от большинства учебников, в которых на первый план выступает понятие производной, авторы сочли основным понятием понятие дифференцируемой функции, т. е. функции, из приращения которой можно выделить главную линейную часть (такой подход становится необходимым в теории функций нескольких переменных, а поэтому нецелесообразно иначе трактовать функции одной переменной). Производная при этом выступает как коэффициент при приращении аргумента в главной линейной части, а выводу формул дифференцирования предпосылаются доказательства дифференцируемости соответствующих выражений.

При изложении темы «Исследование функций» основное внимание уделено глобальному исследованию (убывание и возрастание функции на отрезке, выпуклость и вогнутость на отрезке и т. д.). Локальное исследование проводится для точек экстремума и точек перегиба, в которых происходит смена одного глобального поведения другим. Это объясняется тем, что понятия «возрастания функции в точке», «выпуклости в точке» и т. д. не дают полной информации о поведении функции в окрестности этой точки: в сколь угодно малой окрестности точки, в которой функция «возрастает»,

она может иметь бесконечно много промежутков убывания. Поэтому вместо введения таких терминов авторы предпочитают говорить о знаке приращения функции и т. д.

При изучении выпуклости функций дается несколько определений этого понятия, имеющих различную общность (применимых соответственно для непрерывных, дифференцируемых и дважды дифференцируемых функций). Понятия монотонности и выпуклости используются для доказательства неравенств. Значительное внимание уделено построению графиков функций и кривых, заданных параметрическими и полярными уравнениями.

Книга состоит из двух глав, разбитых на параграфы, которые в свою очередь делятся на пункты. Каждый пункт содержит изложение теоретического материала и ряд разобранных типовых примеров и задач. В конце каждого параграфа предлагаются вопросы для самопроверки и упражнения, которые могут быть использованы при проведении аудиторных занятий, при составлении контрольных работ и межсессионных заданий для студентов-заочников. Нумерация формул сохраняется в пределах одного параграфа, нумерация упражнений сквозная.

В основу пособия легли лекции по дифференциальному исчислению, которые авторы читали на протяжении многих лет на физико-математическом факультете МГЗПИ. Ротапринтный вариант книги был составлен Н. Я. Виленкиным и Е. С. Куницкой («Конспект лекций по дифференциальному исчислению», МГЗПИ, 1973). Переработка книги для настоящего издания выполнена Н. Я. Виленкиным и А. Г. Мордковичем.