3. Натуральная степень бинома (формула Ньютона).
Пусть дана целая рациональная функция
При 
получим: 
Покажем, что остальные коэффициенты этого многочлена выражаются через производные от 
в точке 
В самом деле, имеем:
Положив в этом равенстве 
получим: 
Продифференцировав обе части равенства (2), будем иметь:
Положив в этом равенстве 
получим:
Аналогично находим:
Итак, если 
— многочлен 
степени, то
Точно так же выводится более общее равенство:
называемое формулой Тейлора для многочлена 
Применим формулу (3) к целой рациональной функции 
Имеем:
Тогда
Таким образом, по формуле (3) получаем:
Обычно обозначают
Тогда формула (4) перепишется в виде
Полученное равенство называется формулой Ньютона, а коэффициенты 
— биномиальными.
Отметим некоторые свойства биномиальных коэффициентов. Прежде всего получим более компактное выражение для С. Имеем: 
Итак,
Так как
то
Полученное равенство показывает, что биномиальные коэффициенты, равноудаленные от концов разложения 
по степеням 
равны между собой.
Положив в равенстве 
получим:
т. е. сумма биномиальных коэффициентов в разложении 
равна 
Отметим еще одно свойство биномиальных коэффициентов. Для этого умножим обе части равенства (5) на 
Получим:
С другой стороны, применив к 
формулу Ньютона, получим:
Сравнивая в равенствах (6) и (7) коэффициенты при одинаковых степенях получаем:
Пример 9. Напишем разложение по степеням 
для 
Решение. Имеем:
Вычислим биномиальные коэффициенты:
В итоге получаем:
