3. Производная и дифференциал.

Пусть функция , дифференцируема в точке и ее приращение представлено в виде

т.е. где Выше мы назвали слагаемое дифференциалом функции в точке и обозначили Таким образом,

или

Возьмем для примера линейную функцию Для нее имеем: Значит,

Определим теперь понятие дифференциала независимой переменной. Из формулы (8) видно, что для функции выполняется равенство Так как для этой функции значение функции совпадает со значением независимой переменной, то естественно положить т. е. считать дифференциал независимой переменной равным ее приращению.

Поэтому для любой дифференцируемой функции

Ниже мы увидим, что формула (9) охватывает и случаи, в которых формула (7) теряет силу. Из этой формулы следует, что

Запись часто используется для обозначения производной функции у по независимой переменной (читается: «дэ игрек по дэ икс»).

Заметим, что если то при есть бесконечно

малая более высокого порядка, чем . В самом деле, в этом случав имеем:

Если же то при — бесконечно малые одного порядка, а — эквивалентные бесконечно малые. В самом деле, имеем:

Итак, Поэтому говорят, что дифференциал функции — главная линейная часть ее приращения.

Найдем производную и дифференциал для рассмотренных выше функций Для функции имеем: Значит, или, в соответствии со сказанным выше,

Для функции имеем: Значит,

Следует отметить, что, делая выводы о формулах для дифференциала и производной в рассмотренных случаях, мы фактически опираемся на замечание о единственности представления в виде (1).

Пример 3. Найдем дифференциал и производную функции

Решение. В § 1 мы видели, что постоянная функция обладает следующим свойством: для любых имеет место равенство Приращение функции представлено в виде (1): здесь Значит,

Пример 4. Найдем производную функции в точке и дифференциал функции в этой точке при .

Решение. Сначала решим задачу в общем виде. Имеем:

Значит,

или

Имеем Вычислим значение дифференциала при :

Итак, найдены производные следующих элементарных функций:

Из равенства (10), в частности, получается:

Для вычисления производной удобно пользоваться полученным равенством которое означает, что производная функции , в точке есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (если указанный предел существует).

Пример 5. Найдем производную функции (а — действительное число).

Решение. Приращение функции в точке имеет вид:

Преобразуя это выражение, получаем:

Итак,

Разделим обе части равенства (15) на и перейдем к пределу при . Получим:

Множитель не зависит от и его можно вынести за знак предела, а бесконечно малая величина эквивалентна бесконечно малой Значит,

Но значит,

При получаем из формулы (16) уже знакомые нам формулы (11), (12), (14).

Мы вывели формулу (16) при положительных значениях Если

а — целое число, то этой формулой можно пользоваться и при

Пример 6. Найдем производные следующих функций:

Решение.