3. Дифференцирование частного.

Теорема 4. Если функции , дифференцируемы в точке , причем , то функция также дифференцируема в точке причем:

Короче: частное от деления двух дифференцируемых функций дифференцируемо, причем

Доказательство. Дадим аргументу приращение так, чтобы Тогда будем иметь:

Далее получаем:

Пусть стремится к 0. Тогда

значит,

(здесь, как и выше, под и понимаются значения функций в точке а потому — постоянные множители).

Так как по условию - дифференцируемая в точке функция, то она непрерывна в этой точке, а тогда Значит, . В итоге получаем:

Из существования — следует дифференцируемость рассматриваемой функции. Кроме того, мы получили, что

Теорема доказана.

Правило 5. Производная частного в точках, где знаменатель отличен от 0, вычисляется по формуле:

Дифференциал частного вычисляется по формуле:

Если то из правила 5 получим:

Если то, воспользовавшись правилом 2, получим:

Пример 5. Найдем производную функции

Решение.

Пример 6. Составим уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой, равной 2.

Решение. По заданному значению находим

Значит, касательная и нормаль проходят через точку

Найдем угловые коэффициенты касательной и нормали.

Имеем:

Тогда

Уравнение касательной: или

Уравнение нормали: или

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теорему о дифференцируемости суммы.

2. Как вычисляется производная суммы?

3. Как вычисляется дифференциал суммы?

4. Как вычисляются производная и дифференциал от линейной комбинации конечного числа дифференцируемых функций?

5. Является ли множество дифференцируемых на отрезке функций линейным пространством? Поясните свой ответ.

6. Может ли сумма двух недифференцируемых функций быть дифференцируемой?

7. Может ли сумма дифференцируемой и недифференцируемой функций быть дифференцируемой?

8. Сформулируйте теорему о дифференцируемости произведения.

9. Как вычисляется производная произведения двух функций? трех функций?

10. Как вычисляется дифференциал произведения двух функций?

11. Верно ли равенство

12. Дайте геометрическое истолкование правилу вычисления дифференциала произведения трех функций.

13. Может ли произведение двух недифференцируемых функций быть дифференцируемой функцией?

14. Сформулируйте теорему о дифференцируемости частного.

15. Как вычисляется производная частного?

16. Как вычисляется дифференциал частного?

17. Покажите, что множество функций, дифференцируемых на данном промежутке, образует кольцо.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)