2. Жордановы кривые.

Пара функций

определяет отображение отрезка в множество точек плоскости. Обозначим через Г образ этого отрезка. В примерах, которые мы рассмотрели выше, образами были окружность, эллипс, дуга циклоиды и т. Если функции непрерывны на отрезке , то задаваемое ими отображение называют путем на плоскости. Поскольку при отображении отрезок переходит в отрезок [0; 1], то, не теряя общности, можно считать, что путь является отображением отрезка [0; 1]. Например, окружность является образом отрезка [0; 1] при отображении

Одно и то же множество Г на плоскости может быть различными способами получено как образ отрезка [0; 1]. Например, поскольку функция отображает отрезок [0; 1] на себя, то уравнения

задают ту же окружность, что и уравнения (1). Разница между этими уравнениями лишь в том, что при движении по формулам (1) точка пробегает окружность равномерно, а при движении по формулам (2) — неравномерно.

Назовем два пути:

и

геометрически эквивалентными, если существует такая непрерывная строго монотонная функция что (или для всех на отрезке [0; 1]. Очевидно, что образ отрезка [0; 1] для двух геометрически эквивалентных путей является одним и тем же, т. е. они задают одну и ту же кривую. Легко показать, что отношение «пути геометрически эквивалентны» обладает свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Поэтому множество всех

Рис. 88

путей разбивается на классы геометрически эквивалентных путей. Каждый такой класс путей назовем жордановой кривой.

Условие строгой монотонности функции в определении геометрической эквивалентности — условие того, что кривая пробегается в одном и том же направлении, без поворотов назад. Отметим, что условие «пути геометрически эквивалентны» не совпадает с условием «образы отрезка [0; 1] при двух отображениях одинаковы». Например, на рисунке 88 показаны два геометрически неэквивалентных способа пробегания «восьмерки».

Если кривая Г задана инъективным отображением отрезка [0; 1] (т. е. таким отображением, при котором различным значениям соответствуют различные точки кривой), то ее называют простой дугой. Например, простая дуга изображена на рисунке 86. В частности, простой дугой является график функции непрерывной на отрезке Его можно задать параметрическими уравнениями

Если то жорданова кривая называется замкнутой — пробегая эту кривую, точка возвращается в исходное положение. Примерами замкнутых жордановых кривых могут служить окружность, эллипс, астроида (рис. 92) и т.

Если существуют такие значения и что хотя бы одно из чисел отлично от 0 и 1, причем то и в соответствующую точку кривой путь попадает дважды. Такую точку кривой называют точкой самопересечения (рис. 89). Может случиться, что через одну и ту же точку кривой путь проходит более двух раз (рис. 90).

Доказано, что если Г — замкнутая жорданова кривая, не имеющая точек самопересечения (такая кривая состоит из двух простых дуг, имеющих общие концы), то она делит плоскость на две части (внутреннюю и внешнюю). При этом любые две точки, лежащие в одной и той же части, можно соединить путем, не пересекающим эту кривую, а точки, лежащие в различных частях, таким путем соединить невозможно. Несмотря на геометрическую очевидность этой теоремы, ее строгое доказательство весьма сложно. Геометрическая иллюстрация дана на рисунке 91.