4. Условие постоянства функции.

Теорема 4. Если функция непрерывна на отрезке а во всех внутренних точках отрезка ее производная равна нулю, то функция постоянна на этом отрезке.

Доказательство. Пусть — точка из промежутка Тогда по теореме Лагранжа

где Но по условию следовательно,

откуда . Это и означает, что рассматриваемая функция постоянна на данном отрезке. Теорема доказана.

Доказанное утверждение имеет простой физический смысл: если скорость точки все время равна нулю, то точка покоится и ее координата не меняется (постоянна).

Из теоремы 4 вытекает следующая теорема.

Теорема 5. Если функции непрерывны на отрезке и имеют равные производные во всех внутренних точках отрезка, то разность этих функций постоянна:

Доказательство. Введем вспомогательную функцию равную разности данных функций:

Найдем производную функции

Так как на то на отрезке функция постоянна, т. е.

что и требовалось доказать.

Пример 5. Докажем, что

Решение. Обозначим функцию, стоящую в левой части равенства, через , а функцию, стоящую в правой части равенства, через

Обе функции определены и непрерывны на отрезке Найдем производные этих функций:

Эти производные определены во всех внутренних точках отрезка Так как производные равны, то по теореме 5 сами функции могут отличаться лишь на произвольную постоянную, а значит, можно записать

или

Полученное равенство справедливо при любом значении Найдем значение постоянной С, для чего в полученное равенство подставим какое-либо значение из отрезка например,

что и требовалось доказать.

Пример 6. Докажем, что

(см. скан)

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теорему о необходимом условии экстремума.

2. Сформулируйте теорему Ролля.

3. Поясните на примерах необходимость каждого из трех условий теоремы Ролля.

4. Сформулируйте теорему Лагранжа. В чем состоит ее геометрический смысл?

5. Поясните на примерах необходимость каждого из условий теоремы Лагранжа.

6. Покажите, что теорема Ролля — частный случай теоремы Лагранжа.

7. Сформулируйте условие постоянства функции, непрерывной на отрезке. В чем состоит физический смысл этой теоремы?

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)