§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ

Пусть нужно вычислить , где а — число или один из символов Часто этот предел не удается вычислить непосредственным применением теорем о пределах — их формальное применение приводит к «неопределенному выражению» одного из следующих видов:

В таких случаях приходится, как говорят, «раскрывать неопределенность». О различных приемах раскрытия неопределенностей говорилось в разделе «Введение в анализ». Существуют способы отыскания пределов, связанные с дифференциальным исчислением; некоторые из них изложим в настоящем параграфе.

1. Теорема Коши.

В этом пункте рассмотрим теорему, которая наряду с теоремами Ролля и Лагранжа, относится к основным теоремам дифференциального исчисления и является обобщением теоремы Лагранжа.

Теорема Коши. Пусть на отрезке заданы две функции причем: 1) обе функции непрерывны на отрезке обе функции дифференцируемы в интервалеа; ни в одной точке интервала не обращается в нуль.

Тогда в найдется точка с такая, что

Доказательство. Составим вспомогательную функцию

где X — число. Так как функции по условию непрерывны на и дифференцируемы в то и функция непрерывна на и дифференцируема в Значит, функция удовлетворяет первым двум условиям теоремы Ролля Подберем постоянный множитель X так, чтобы функция удовлетворяла и третьему условию теоремы Ролля:

Для этого должно выполняться равенство

т. е.

Заметим, что . В самом деле, если бы было то, применив к функции на отрезке теорему Ролля, мы заключили бы, что существует точка такая, что а это противоречит условию доказываемой теоремы: всюду в Поэтому обе части равенства (1) можно разделить на коэффициент при К, в результате чего получим:

При найденном значении X вспомогательная функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Но тогда по теореме Ролля в найдется, по крайней мере, одна точка с такая, что Так как то, учитывая, что получим:

откуда

т. е.

что и требовалось доказать.

Замечание. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши. Если в формуле (2) положить то получим формулу Лагранжа

Пример 1. Пусть Составим формулу Коши и найдем значение с.

Решение. Функции непрерывны на отрезке [1; 2], дифференцируемы в интервале в интервале Следовательно, условия теоремы Коши выполнены и, значит, существует точка с такая, что

Найдем эту точку. Имеем:

Значит,

Из этого уравнения находим