ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1. СВЯЗЬ МЕЖДУ ХОДОМ ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРОИЗВОДНОЙ

До сих пор мы занимались исследованием функций, не пользуясь производной. Производная помогает детальнее изучить свойства функций: установить, в каких интервалах функция возрастает, а в каких убывает, в каких точках функция достигает наибольшего значения, а в каких — наименьшего, где график функции представляет собой выпуклую кривую, а где — вогнутую и т. д. Изучение этих (и других) вопросов составляет содержание главы 2. Цель настоящего параграфа — ввести читателя в указанный круг вопросов, дать наглядное истолкование ряда результатов, которые в дальнейших параграфах получат строгое доказательство.

1. Возрастание и убывание функций.

Как известно, функция , называется возрастающей на множестве X, если для любых , таких, что имеем

Если

то функцию называют строго возрастающей на множестве X.

Аналогично определяются понятия убывающей и строго убывающей функций.

Оказывается, характер монотонности функции связан со знаком производной. Геометрически очевидно, что если дифференцируемая функция , возрастает, то касательная к графику функции в любой точке либо составляет с положительным направлением оси абсцисс острый угол либо параллельна оси абсцисс (рис. 28). А так как то получаем, что . Если же дифференцируемая функция , убывает, то касательная к графику функции в любой точке либо составляет с положительным направлением оси абсцисс тупой

Рис. 28

Рис. 29

угол либо параллельна оси абсцисс (рис. 29). В этом случае , значит, .

Сделанные выводы подтверждаются конкретными примерами. Так, функция возрастает на всей числовой прямой, а ее производная всюду неотрицательна (см. рис. 11). Функция убывает на и возрастает на (см. рис. 9), а ее производная неположительна на первом и неотрицательна на втором из указанных промежутков.

Итак, если дифференцируемая функция , возрастает (убывает) на X, то ее производная на этом промежутке неотрицательна (неположительна).

Обратно, по знаку производной можно установить характер монотонности функции. Имеет место следующее утверждение.

Если функция непрерывна на промежутке X и имеет в каждой внутренней точке этого промежутка положительную производную, то эта функция строго возрастает на X.

Остановимся на физических соображениях, поясняющих это утверждение. Пусть точка М движется по прямой и — закон движения. Тогда является мгновенной скоростью движущейся точки в момент времени Из физических соображений ясно, что если на выполняется неравенство т. е. в течение промежутка времени от а до скорость точки была положительной, то точка все время движется слева направо и ее координата возрастает.

Аналогичные соображения позволяют сформулировать следующее утверждение.

Если функция непрерывна на промежутке X и имеет в каждой внутренней точке этого промежутка отрицательную производную, то эта функция строго убывает на X.