3. Точки перегиба.

До сих пор, говоря о направлении выпуклости непрерывной и дифференцируемой функции мы исследовали расположение графика функции относительно касательной к графику глобально, на всем отрезке Теперь мы изучим взаимное расположение графика и касательной в некоторой окрестности точки касания (локально).

В большинстве случаев график локально располагается по одну сторону от касательной; так на рисунке 60 он в достаточно малой окрестности точки касания лежит выше касательной, а на рисунке 61 — ниже касательной. Однако могут существовать точки, слева от которых (в достаточно малой окрестности) график лежит по одну сторону от касательной, а справа — по другую (рис. 62). Такие точки называются точками перегиба.

Определение 4. Точка М линии Г называется точкой перегиба, если существует дуга этой линии, содержащая точку М, такая, что дуги и расположены по разные стороны от касательной, проведенной в точке М к линии Г.

Обычно точка перегиба отделяет участок, где функция выпукла вниз, от участка, где функция выпукла вверх.

Рис. 63

Рис. 64

Для отыскания точек перегиба полезна лемма, аналогичная лемме о знаке приращения функции (с. 77). В лемме о знаке приращения функции речь шла о знаке разности т. е. о знаке разности между ординатой кривой и ординатой горизонтальной прямой (Рис. 63). В лемме, которая формулируется ниже, речь идет о знаке разности между ординатой графика и ординатой касательной (рис. 64).

Лемма. Пусть функция определена на промежутке X и имеет вторую производную в некоторой внутренней точке . Если то график функции в некоторой окрестности точки располагается выше касательной к графику в точке если то график в некоторой окрестности точки располагается ниже касательной.

Доказательство. Пусть Как и при доказательстве теоремы 2, введем вспомогательную функцию:

Ясно, что Имеем, далее, Значит,

Так как по условию то Тогда по теореме 4 из § 3 заключаем, что — точка минимума функции . В таком случае в некоторой окрестности точки выполняется неравенство (напомним, что Так как — укас, то получаем укр укас. Это и означает, что в указанной окрестности график располагается выше касательной. Вторая часть леммы доказывается аналогично.

Теорема 3 (необходимое условие точки перегиба). Для того чтобы график функции имел перегиб в точке необходимо, чтобы функция была дифференцируема в точке и чтобы в этой точке вторая производная либо не существовала, либо была равна нулю.

Доказательство. Могут представиться лишь четыре случая: а) не

существует. Но в случаях а) и б), по лемме, график располагается по одну сторону от касательной, т. е. в этих случаях точка не может быть точкой перегиба. Значит, возможны лишь случаи в) и г), что и требовалось доказать.

Подчеркнем, что эта теорема дает необходимое, но недостаточное условие точки перегиба. Например, для функции имеем Вторая производная обращается в нуль в точке но это — точка минимума функции, а не точка перегиба.

Теорема 4 (первое достаточное условие точки перегиба). Пусть функция дифференцируема в точке и пусть у этой точки есть окрестность такая, что в интервалах существует вторая производная причем она сохраняет знак на каждом из этих интервалов. Тогда если на знаки второй производной различны, то является точкой перегиба, если знаки одинаковы, то перегиба нет.

Доказательство. Воспользуемся равенством (11), полученным при доказательстве теоремы 2:

Так как точки лежат по одну сторону от точки то Отсюда следует, что если знаки второй производной слева и справа от точки различны, то и знаки — Укр — Укас различны, а это означает, что график переходит с одной стороны касательной на другую, т. е. — точка перегиба. Если же по обе стороны от имеем то и слева, и справа будет укр укас, а это значит, что график лежит выше касательной и перегиба нет. Случай, когда рассматривается аналогично.

Доказанные теоремы приводят к следующему правилу нахождения точек перегиба графика функции

1) находим точки, в которых не существует или обращается в нуль;

2) пусть — одна из найденных точек. Исследуем знак слева и справа от точки (разумеется, в достаточно малой окрестности точки На основании теоремы 4 делаем соответствующие выводы (см. таблицу на рисунке 65).

Пример 4. Найдем точки экстремума и точки перегиба функции и построим график.

Решение. Имеем:

при Производная при переходе через точку меняет знак с на а при переходе через точку не меняет знака. Значит, — точка минимума, а в точке экстремума нет.

Рис. 65

Рис. 66

Рис. 67

Вторая производная обращается в нуль в точках Знаки второй производной распределены следующим образом (рис. 66): на луче имеем на интервале имеем на луче имеем

Значит, - точка перегиба (переход с выпуклости вниз на выпуклость вверх) и — точка перегиба (переход с выпуклости вверх на выпуклость вниз). При имеем при имеем

Используя найденные контрольные точки строим график функции (рис. 67).

Рис. 68

Теорема 5 (второе достаточное условие точки перегиба). Если , то точка, перегиба графика функции .

Доказательство. Положим для определенности Так как -производная функции то из условия следует возрастание функции в точке Но значит, при имеем а при имеем Так как вторая производная меняет знак при переходе через точку то по теореме — точка перегиба. Теорема доказана.

Пример 5. Найдем точки экстремума и точки перегиба функции и построим ее график.

Решение. Прежде всего заметим, что функция является четной, а потому достаточно провести исследование для Имеем:

Решая уравнение находим (точку не берем, так как условились рассмотреть случай ) Далее, Значит, — точка максимума, — точка минимума.

Из уравнения находим . В этой точке возможен перегиб графика. Чтобы выяснить это, найдем третью производную:

Так как , то — точка перегиба.

Для построения графика используем найденные точки: (0; 5) — точка максимума, минимума, перегиба. Кроме того, найдем точки пересечения графика с осью абсцисс. Решив уравнение получим: График изображен на рисунке 68.

Вопросы для самопроверки

1. Как располагается график выпуклой вниз функции по отношению к хорде? по отношению к касательной?

2. Как располагается график выпуклой вверх функции по отношению к хорде? по отношению к касательной?

3. Сформулируйте аналитическое определение выпуклой вниз функции.

4. Сформулируйте аналитическое определение выпуклой вверх функции.

5. В чем состоят достаточные условия выпуклости функции вниз на отрезке?

6. В чем состоят достаточные условия выпуклости функции вверх на отрезке?

7. Что такое точка перегиба кривой?

8. В чем состоит необходимое условие точки перегиба?

9. В чем состоит первое достаточное условие точки перегиба?

10. В чем состоит второе достаточное условие точки перегиба?

11. Опишите правило нахождения точек перегиба данной функции.

Упражнения

(см. скан)