§ 5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

1. Дифференцируемость сложной функции.

Напомним определение сложной функции.

Пусть — числовые функции, такие, что:

1) функция определена на множестве X. 2) если , то принадлежит области определения функции Тогда на множестве X определена функция которая называется сложной функцией, составленной из называют независимым аргументом (независимой переменной), промежуточным аргументом (промежуточной переменной). Сложную функцию называют также композицией данных функций.

Теорема 1. Пусть и пусть существует окрестность точки в которой определена сложная функция Если функция дифференцируема в точке а функция дифференцируема в точке то сложная функция дифференцируема в точке

Короче: композиция двух дифференцируемых функций есть дифференцируемая функция.

Доказательство. Дадим переменной приращение так, чтобы точка Да: принадлежала указанной в формулировке теоремы окрестности точки Тогда функция получит приращение которое, в свою очередь, вызовет приращение функции

Так как функция дифференцируема в точке то имеем:

где А — число, а при .

Так как, далее, функция дифференцируема в точке то имеем:

где В — число, при

Подставив в равенство (2) выражение для получим:

Если то Кроме того, из непрерывности дифференцируемой функции следует, что при будет а тогда и Таким образом, при

Если обозначить через , получим:

где — число, а при Да; Но это и означает дифференцируемость сложной функции в рассматриваемой точке Теорема доказана.

Из равенства (1) следует, что а из равенства (2) следует, что Тогда из равенства (3) получаем:

Теперь мы можем сформулировать следующее правило дифференцирования сложной функции.

Правило 6. Производная композиции двух функций по независимой переменной равна произведению производной по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной:

Правилу 6 можно дать наглядное физическое истолкование: есть скорость изменения у относительно есть скорость изменения относительно Иными словами, в данной точке у изменяется в раз быстрее, чем в раз быстрее, чем Ясно, что тогда у изменяется в раз быстрее, чем

Это правило распространяется и на случай композиции трех и большего числа дифференцируемых функций. Если, например, то можно рассуждать так: рассмотрим у как композицию двух функций. Тогда Теперь будем считать и промежуточным аргументом. Тогда их. В итоге получаем:

Пример 1. Найдем производную функции

Решение. Положим Тогда данную функцию можно рассматривать как композицию двух функций: а значит,

Осталось вместо подставить его выражение. Получим в итоге:

Пример 2. Докажем теорему: касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Решение. Возьмем точку на дуге окружности, лежащей в первом квадранте (рис. 20). Из уравнения окружности имеем Найдем производную этой функции:

Угловой коэффициент радиуса таков: Так как то касательная и радиус взаимно перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Пример 3. Плот подтягивается к берегу при помощи каната, который наматывается на ворот со скоростью

Определим скорость движения плота в тот момент, когда его расстояние от берега будет равно 25 м, если известно, что ворот расположен на берегу выше поверхности воды на 4 м.

Решение. Пусть (рис. 21) длина каната между воротом и плотом расстояние плота от берега тогда, так как Поскольку зависит от времени то продифференцируем это соотношение по

Рис. 20

Рис. 21

времени Получим:

откуда

По условию , следовательно, Тогда

Итак, искомая скорость примерно равна 3,03 м/с.