4. Дифференцирование показательной и логарифмической функций.

Найдем производную функции Дадим

Рис. 25

аргументу приращение Получим:

и далее:

Постоянный множитель вынесем за знак предела, а бесконечно малую заменим эквивалентной бесконечно малой Получим:

Итак,

Мы видим, что функция обладает замечательным свойством — она остается неизменной при дифференцировании. Этим и объясняется большое значение, которое имеет функция в математическом анализе.

Пример 8. Вычислим величину угла, который образует график функции с осью ординат в точке пересечения с этой осью.

Решение. Имеем

График функции пересекает ось ординат в точке (0; 1). Так как то тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке равен 1, а потому касательная образует с осью абсцисс угол, величина которого равна . Тогда и с осью ординат касательная образует угол, величина которого равна

На рисунке 26 изображен график функции (обратите внимание на поведение графика в точке

Полученный в примере 8 результат позволяет дать новое определение числу числом называется основание показательной функции, график которой пересекает ось ординат под углом

Найдем производную функции Эта функция является обратной по отношению к функции

Рис. 26

Функция непрерывна, строго монотонна на и имеет производную нигде не обращающуюся в 0. Значит, все условия теоремы о дифференцируемости обратной функции выполнены и мы получаем:

Но значит:

Формула (13) справедлива при

Заметим, что формула (13) может быть получена аналогично тому, как была получена формула (12).

Отметим одно важное обстоятельство. Из формулы (13) следует:

Но геометрически выражает тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке Таким образом,

т.е Это означает, что при достаточно больших касательная становится «почти параллельной» оси абсцисс. Указанное обстоятельство необходимо учитывать при построении графика функции

Пусть теперь дана функция где Так как то

Значит, функцию можно рассматривать как композицию функций . Тогда

Итак,

Равенство (14) можно записать в виде:

где . Оно показывает, что функция является одним из решений уравнения Легко проверить, что при любом С функция также является решением этого уравнения. Таким образом, уравнение имеет бесконечно много решений, зависящих от одного параметра С. Уравнения, содержащие функции и их производные, называет дифференциальными уравнениями.

Дифференциальное уравнение показывает, что скорость изменения величины у пропорциональна значению этой величины. Такой закон изменения называется законом натурального роста. По такому закону возрастают вклады в сберегательной кассе (чем больше вклад, тем большую сумму начисляют в виде процентов), популяция животных, имеющая неограниченный запас корма (чем больше особей, тем больше потомства), и т. д. При мы имеем дело с убывающей величиной, скорость убывания которой пропорциональна ее значению. Примером такой величины может служить масса радиоактивного вещества (чем больше вещества, тем большее число атомов распадается за данный промежуток времени).

Найдем, наконец, производную функции Имеем:

Итак,

Пример 9. Найдем производную функции

Решение. Воспользовавшись правилом дифференцирования частного и формулами (14) и (13), получим:

Пример 10. Найдем производную функции Решение. Воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции и формулами (12) и (10), получим:

Пример 11. Докажем, что функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

Решение. Найдем у для данной функции, перейдя в выражении к натуральным логарифмам:

Имеем:

Тогда

что и требовалось доказать.

Пример 12. Докажем, что множество функций вида

где фиксировано и — многочлен, степень которого не превышает является линейным пространством, причем дифференцирование — линейный оператор в этом пространстве.

Решение. Так как сумма многочленов, степень которых не превышает является многочленом того же вида, равно как и произведение такого многочлена на число, получаем, что как сумма так и функция принадлежат Значит, множество — линейное пространство Далее имеем:

Ясно, что многочлен, степень которого не превышает , и потому Значит, дифференцирование — оператор в Так как этот линеен.